第42讲：抛物线及其方程讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第42讲：抛物线及其方程 【课型】复习课 【教学目标】1.理解并掌握抛物线的定义与方程 2.理解并掌握抛物线的几何意义 【预习清单】 【基础知识梳理】 1.抛物线的概念：平面内与一个定点F和一条定直线I(FE1)距离相等的点的 轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线1叫做抛物线的准线 2.抛物线的标准方程及其性质 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 标准方程 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) p的几何意义：焦点F到准线I的距离 图形 顶点 (0,0) 对称轴 y=0 x=0 焦点 F(p2,0) F(-p2,0) F(0,p2) F(0,-p2) 离心率 e=1 准线方程 x=-p2 x=p2 y=-p2 y=p2 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， y∈R y∈R X∈R X∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 3.与焦点弦有关的常用结论（以图为依据）设A(x,y),B (X2,y2). (1)y12=-p2,x1x2=p24, (2)AB=x1+X2+p=2psin26(0为直线AB的倾斜角). (3)1AF+1BF/为定值2p. (4)以AB为直径的圆与准 线相切. (⑤)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.(6)过焦点垂直于对 称轴的弦长等于2p(通径). 【引导清单与训练清单】 考向3：抛物线的定义，标准方程及其性质应用 例3：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(一4，一2)的抛物线的标准 方程是 (2)已知抛物线C与双曲线x2一2=1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物 线C的方程是 (3)若抛物线的焦点在直线x一2y一4=0上，则此抛物线的标准方程 为 (4)抛物线x2=2py(p>0)上的点P(m,2)到焦点F的距离为3，则该抛物线的方 程为 ；点M到坐标原点的距离为 (5)动圆过点(1,0)，且与直线x=一1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 (6)设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3,2),则 PB+|PF的最小值为 (7)若抛物线y=2x上一点M到它的焦点F的距离为32,0为坐标原点，则△F0 的面积为 (8)如图是抛物线形拱桥，当水面在1时，拱顶离水面2米，水 面宽4米.水位下降1米后，水面宽为 米 (9)若直线y=kx十2与抛物线y2=8x只有一个公共点，则k的 值为 (10)设经过抛物线C的焦点F的直线1与抛物线C交于A、B两点， 一4m 那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为 【解析】(1)设抛物线为2=mx,代入点P(一4，一2)，解得m 一1，则抛物线方程为2=一x:设抛物线为x2=y,代入点P(一4， 一2)，解得=一8，则抛物线方程为x2=一8y.(2)由已知可知双 曲线的焦点为（一2,0），(2,0).设抛物线方程为y2=±2px(p>0),则p2=2, 所以p=22,所以抛物线方程为y2=±42x.(3)令x=0,得y=一2；令y=0, 得x=4.所以抛物线的焦点是(4,0)或(0，一2)，故所求抛物线的标准方程为2 =16x或x2=-8y:(4)根据抛物线定义可知2+p2=3,所以p=2,所以抛物 线的方程为x2=4y.点M到原点的距离为Vm2+22=√8+4=2√3(5)设动圆的 圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1，O)的距离与到直线x= 一1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹 方程为y2=4x:(6)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q, B3.2 交抛物线于点P,则PQ=PF.则有PB+PF≥ PB+PQ=BQ=4.即PB+PF的最小值为4.(7)由 题意知，抛物线准线方程为x=一12.设M(a,b),由抛物线 的定义可知，点M到准线的距离为32，所以a=1,代入抛物线方程y2=2x,解 得b=±2，所以S△0=12×12×2=2)4.(8)建立坐标系如图所示.则可设抛 物线方程为x2=一2py(p>0).因为点(2，一2)在抛物线上，所以p=1,即抛物 线方程为2=一2y.当y=一3时，x=士6.所以水位下降1米后，水面宽为26 米.(9)由y=kx+2,y2=8x,)得k2x2+(4k-8)x+4=0. 当k=0时，解得X=12,y=2:当k≠0时，△=(4k一8)2-16k2=0,解得k= 1. 故k=0或k=1.(10)设圆心为M,过点A、B、M作准线1的垂线，垂足分别为 A、B、M,则MM=12(AA+|BB).由抛物线定义可知BF=BB, AF=AA1,所以AB=BB+AA1,M=12AB,即圆心M到准线的距离 等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。 【巩固清单】 1.抛物线8x2+y=0的焦点坐标为 【解析】由8x2+y=0,得x2=一18y.2p