第35讲：极坐标讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第35讲：极坐标 【课型】复习课 【教学日标】1.理解并掌握极坐标系与极坐标 2.会进行直角坐标与极坐标的相互转化 【预习清单】 【基础知识梳理】 1. 极坐标系的概念：在平面上取一个定点0，叫做极点：自极点0引一条射线Ox,叫做极 轴：再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及 其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标 M 系。设M是平面上任一点，极点0与点M的距离O叫做 点M的极径，记为p;以极轴Ox为始边，射线OW为终边 的角xOM叫做点M的极角，记为0.有序数对(p,0)叫 0 做点的极坐标，记作(p,9). 01234主 2.极坐标和直角坐标的互化：把直角坐标系的原点作为 极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一 点，它的直角坐标是(x,y),极坐标为(p,0),则它们之间的关系为x=pcos0,y= psin0.另一种关系为：p2=x2十y2,tan8=yx(x≠0). 3.简单曲线的极坐标方程：(1)一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方 程中(p,9)=0,并且坐标适合方程中(p,8)=0的点都在曲线上，那么方程中(p,6) =0叫做曲线的极坐标方程。(2)常见曲线的极坐标方程常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 0 P=r(0≤0<2r)】 P三 圆心为(x,0),半径为x的圆 ,0 2rcos 0\a\vs4\al\col(- Af(n n2) 圆心为\avs4\al\col(r,y ) f(红2)，半径为r的圆 p=2s1n0(0≤0<1) (1)0=a(peR)或0=r十 过极点，倾斜角为a的直线 a(p∈R) (2)0=a和0=r十a 过点(a,0),与极轴垂直的直线 pcos 0=a\a\vs4\al\col(- 6a,0)x f (n n2) a,别 过点a\vs4al\col(a,\ f(π2))，与极轴平行的直线 psin0=a(0<0<π) 【引导清单】 考向一：点的极坐标与直角坐标的互化 【例1】分别把下列点是极坐标的化为直角坐标是直角坐标的化为极坐标：（其中p>0,0 ≤0<2r) (1)2,元6)：(2(4，-n12):(3(-1,1)；(4)(-3,-1). 【解】(1).x=pcos0=2cosr6=3,y=psm0=2snπ6=1.∴.点的极坐标(2，r6)化为直 角坐标为(3,1).(4)：cosr12=1+cos1fx62=1+f0r(322=6)+r(2)4,sinr12=1- cosif(62=1-\f0r(322=6)-r(2)4,.x=pcos0=4cos(-r12)=4cos元12=6+2，y= psin0=4sin(-r12)=-4sinπ12=2-6.∴.点的极坐标(4，一n12)化为直角坐标为(2+6， 2-6).(3)p=-12+12=2,tan0=-1,0∈[0,2，点(-1,1)在第二象限，.0= 3r4,,直角坐标(-1,1)化为极坐标为(2,3r4).(4)p=-r(3)2+一12=2，tan 0=-1-\r(3)=3)3,0∈[0,2， 点（一3，一1）在第三象限，∴0=7π6，∴.直角坐标(-3，一1)化为极坐标为(2,7r6). 考向二：极坐标方程与直角坐标方程的互化 【例2】(1)已知椭圆C的极坐标方程为p2=123cos20+4sin28,点F1、F2为其左、右 焦点，直线1的极坐标方程为psin&=pcos9一2.求直线1和曲线C的直角坐标方程. (2)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为c一2)2+0y一2)2=1，直线C2的方程为y =x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C,和直线C2的极 坐标方程； 【解】(1)由psin9=pcos0-2,得直线1的普通方程为y=x-2;由p2=123cos20 +4sin20,得p2(3cos26+4sin28)=12,即3x2+4y2=12,曲线C的普通方程为x24+ y23=1.(2)因为C1的方程为(x-2)2+y一2)2=1，则C1的极坐标方程为p2-4pcos0-4psin0 +7=0,由于直线C2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为0=π3(p∈R)tn0=3). 考向三：极坐标系的直接应用 【例3】在极坐标系中，点A和点B的极坐标分别为〔2,3)和(3.0)，O为极点， 求(1)4，B两点间的距离：(2)△4OB的面积， 【解】(1)将A,B两点代入到两点间的距离公式有4B=222=3)一0=4十9一6=7 (2)S△4os=12 OAI JOB:sin∠AOB=12×2×3×sin(r3-0)=323 考向四：极坐标的综合问题 【例4】在直