第26讲：等差数列的判定及前n项和的最值讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第26讲：等差数列的判定及前n项和的最值 【课型】复习课 【教学目标】1.理解并掌握等差数列的判定方法 2.能利用二次函数知识处理前n项和的最值问题 【预习清单】 【基础知识梳理】 一， 等差数列与函数的关系 1.通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an=a1+(n一1)d=d血十a一d 是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d>0,则为递增数列，若公 差d<0,则为递减数列. 2.前n项和：当公差d≠0时，S.=na1+n(n-1)2d=d2n2+\ a\vs4al\col(al-\f(d2))n是关于n的二次函数且常数项为0. 二.等差数列的四种判断方法： (1)定义法：an+1一an=d(d是常数)÷{a}是等差数列. (2)等差中项法：2an+1=a十an+2(n∈N)÷{an}是等差数列 (3)通项公式：an=pn十q(p,q为常数)÷{a}是等差数列. (4)前n项和公式：Sn=An2+Bn(A、B为常数)一{an}是等差数列. 三.求等差数列前n项和S。最值的两种方法 利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次 函数最值的方法求解， 【引导清单】 考向一：等差数列的判定 例1：已知数列{an}中，a1=2,a=2-1an-1(n≥2，n∈N,设bn=1an-1 (n∈N*. (1)求证：数列b}是等差数列.(2)求数列{an}的通项公式 【证明】.an=2-lan-1,.an+1=2-lan.∴.bn+1-bn=lan十1-1-lan-1= 11an一1an-1=an-1an一1=1，∴.{an}是首项为b1=12-1=1,公差为1的等 差数列.(2)由(1)b,=1+m-)=n.所以1，=，解得a,=”+1 a,-1 考向二：等差数列前n项和的最值问题 例2：等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a=13,S3=S,当Sn最大时，求n 的值。 【解析】由S2=S1,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入，得d=-2,故 S.=13n一n(n一1)=一2+14n.根据二次函数的性质，知当n=7时Sn最大. 【训练清单】 【变式训练1】各项均不为0的数列{a}满足an+1(an十an+2)2=a+2a,且 a=2ag=15.证明：数列1f(1an)是等差数列，并求数列{an}的通项公式. 【证明】依题意，an+1an十an+2an+1=2an+2an,两边同时除以aan+1an+2,可得 1an十2+1an=2an+1,故数列1f(1an))是等差数列，设数列1f(1an)的公差为 d.因为a3=2ae=15,所以1a3=5,1a8=10,所以1a8-1a3=5=5d,即d=1, 故1an=1a3+(n一3)d=5+(n-3)×1=n+2,故an=1n+2. 【变式训练2】己知在等差数列(a}中，a1=31,Sn是它的前n项和，S1o=S22 (1)求S:(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值. 【解】(1)，S1o=a十a2十…十ao,S2z=a1十a2十…十a22,So=S22,.a1十 a2+…+a22=0,12（a11+a22)2=0,即a11+a22=2a1+31d=0.又a=31, .d=-2,∴.S.=na1+n(n-1)2d=31n-n(n-1)=32n-n2.(2)由(1)知 Sn=32n一n2,.当n=16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256. 【巩固清单】 1.已知p:数列{an}是等差数列，q:数列{a}的通项公式an=kn十k2(k1,k2 均为常数)，则p是g的 条件。 【解析】若{an}是等差数列，不妨设公差为d.所以an=a1十(n一l)d=dn十a1一d, 令k1=d,k2=a1一d,则an=k1n+k2,若数列{an}的通项公式an=k1n十k2(k1, k2为常数，n∈N,则当n≥2且n∈N*时，an-1=k(n一1)+k2,所以an一an-1 =k(常数)(n≥2且n∈N,所以{an}为等差数列，所以p是q的充要条件. 2.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺 重四斤，斩末一尺，重二斤.”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重 4斤，尾部1尺，重2斤.若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则 该金箠共重 【解析】设从头到尾每一尺的质量构成等差数列{an},则有a=4,a5=2,所以 a1十a5=6,数列{an}的前5项之和为S5=5Xa1十a52=5×3=15,即该金笔共重 15斤， 3.在等差数列{a}中，a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn 取得最大值，则d的取值范围为 【解析】当且仅当n=8时，Sn取得最大值，说明a8>0,a9