第5章 第26讲 等差数列及其前n项和（word教师用书）-【状元桥】2023高考数学一轮总复习(新教材 新高考)

第26讲　等差数列及其前n项和 1．通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2．探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 4．体会等差数列与一元一次函数的关系. 等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明是考查的热点．本讲内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度为中低档. [知识梳理] 1．等差数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从__第2项__起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．符号表示为__an＋1－an＝d__(n∈N*)． (2)等差中项：三个数a，A，b成等差数列的充要条件是　A＝　，其中A叫做a，b的__等差中项__. [注意] 要注意概念中的“从第2项起”，如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不一定是等差数列． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝__a1＋(n－1)d__. (2)前n项和公式：Sn＝　na1＋d　＝　　. 3．等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． 常用结论　 (1)等差数列与函数的关系 ①通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列． ②前n项和公式：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0. (2)两个常用结论 ①关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝； 若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇－S偶＝an，＝. ②两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝. [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (2)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　) (3)数列{an }为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (4)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　) (5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　) 答案 (1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)× 2．已知Sn为等差数列{an}的前n 项和，a2＝2，S4＝14，则S6＝(　　) A．32 B．39 C．42 D．45 答案　B 解析　设公差为d，由题意得解得所以S6＝6a1＋d＝39.故选B项． 3．已知{an}为等差数列，其前n 项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　C 解析　因为d＝＝2，Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝64，解得n＝8.故选C项． 4．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________. 解析 由题意得，该数列的首项为－8，公差为5，设该等差数列为{an}，则a100＝－8＋99×5＝487. 答案 487 5．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的通项公式为________. 解析 当n≥2时，an＝an－1＋，所以{an}是首项为1，公差为的等差数列，则an＝1＋(n－1)×＝n＋. 答案 an＝n＋ 考点一　等差数列基本量的运算…………自主练透 1．(2022·吉林长春监测)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝15，S5＝65，则a1＋a4＝(　　) A．24 B．26 C．28 D．30 答案　C 解析　设等差数列{an}的公差为d，则由题意得解得所以a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝17＋17－6＝28.故选C项． 2．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝0，a4＝8，则(　　) A．Sn＝2n2－6