专题1-4 等式及不等式性质应用（讲+练）-【巅峰课堂】2024年高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

专题 1.4等式与不等式性质及应用 · 一、知识梳理与二级结论 · 二、热考题型归纳 · 【题型一】 一元二次“根的分布” · 【题型二】 解一元二次含参不等式 · 【题型三】 整数解：一元二次不等式 · 【题型四】 保值函数：一元二次型 · 【题型五】 恒成立：一元二次型 · 【题型六】 做差法比较大小 · 【题型七】作商法比较大小 · 【题型八】 不等式性质求取值范围 · 【题型九】 利用不等式性质证明不等式 · 【题型十】 抽象不等式的应用 · 三、高考真题对点练 · 四、最新模考题组练 知识梳理与二级结论 一、等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 二、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 三、两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 四、一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 五、一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 六、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 七、用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1．理解题意，搞清量与量之间的关系； 2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题． 3．解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解． 八、三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式 九、含有绝对值的不等式基本性质 （1）若_ ; （2）若或; （3） 热点考题归纳 【题型一】一元二次“根的分布” 【典例分析】 1．（2021·全国·高三专题练习）已知若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·广东广州·高三广州市第二中学校考阶段练习）已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【提分秘籍】 根的分布 （1） 开口方向； （2） 判别式； （3） 对称轴位置； （4）根的分布区间端点对应的函数值正负 （5）如果是“0”分布，可以用韦达定理 【变式演练】 1．（2022秋·江苏南京·高三南京市雨花台中学校考阶段练习）已知集合,,，则实数的取值范围为（    ） A．(－，0) B．[0，1) C．[1，2) D．(0，2) 2．（2023·高三课时练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（    ） A．-2 B． C． D．1 【题型二】解一元二次型含参不等式 【典例分析】 1．（2022秋·全国·高三专题练习）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(    ) A． B． C．