专题6.3 平面向量的应用（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题6.3 平面向量的应用 【核心素养】 1.以平面图形为载体，借助于平面向量研究平面几何平行、垂直、夹角等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现，凸显直观想象、数学运算、数学建模的核心素养． 2．考查平面向量在物理学中的应用，体现其工具性，凸显数学建模、数学运算的核心素养． 知识点一 向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下方面： (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义． (2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：　a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)　． (3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：　a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)　． (4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝　． (5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 知识点二 向量在物理中的应用 数学中对物理背景问题主要研究下面两类： (1)力向量 力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力． (2)速度向量 速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度知识点三 正弦定理 正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题． 面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B 知识点四 余弦定理 余弦定理： ， ， . 变形公式cos A＝，cos B＝，os C＝ 知识点五 常用结论 (1)在三角形ABC中，A＋B＋C＝π，则 ①sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos(B＋C)，tan A＝－tan(B＋C)． ②sin ＝cos ，cos ＝sin . ③sin A＝sin B⇔A＝B； sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝. ④A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． (2)三角形的面积 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 常考题型剖析 题型一：平面向量在平面几何中的应用 【典例分析】 例1-1.（2023春·新疆省直辖县级单位·高一校联考期末）已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例1-2.【多选题】（2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考期末）在直角梯形中，，，，，点P在所在的平面内，满足，若M是的中点，则的取值可能是（    ） A．7 B．10 C．13 D．16 例1-3.【多选题】（2023春·黑龙江绥化·高一校考期末）下列说法中正确的有（    ） A．点O在所在平面内，若，则点O为的重心 B．向量能作为平面内所有向量的一个基底 C．点O在所在平面内，若，则点O为的垂心 D．点O在所在平面内，且满足，则为等腰三角形 【规律方法】 1.用平面向量解决几何问题，往往涉及平行、垂直、夹角． 2.处理几何问题有两个角度，一是注意选定基底，用相同的向量表示研究对象；二是通过建立坐标系，利用向量的坐标运算求解． 3.要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使＝λ成立，且AB与CD无公共点． 4.要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ． 5.要求一个角，如∠ABC，只要求向量与向量的夹角即可． 6.在解决求长度的问题时，可利用向量的数量积及模的知识，解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决． 【变式训练】 变式1-1.（2023春·浙江丽水·高一统考期末）如图，、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是（    ）    A． B． C． D． 变式1-2.（2023春·山东聊城·高一统考期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    变式1-3.【多选题】（2023春·黑龙江大庆·高一大庆中学校考期中）下列关于平面向量的说法中正确的是（    ） A．已知，点在直线上，且，则的坐标为； B．若是的外接圆圆心，则 C．若，且