湘豫名校联考2024届高三上学期8月入学摸底考试数学试题

湘豫名校联考2023年8月高三秋季入学摸底考试 数学 注意事项: 1.本试卷共6页。时间120分钟,满分150分。荅题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置,并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上,然后认真核对条形码上的信息,并将条形码粘炶在答题卡上的指定位置。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦于净后,再选涂其他答案标号。作答非选择题时,将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将试卷和答题卡一并收回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,则 A. B. C. D. 2.设是虚数单位,若复数满足,则的共轭复数的虚部为 A. B. C. D. 3.已知直线与圆相切,则实数 A.或 B.-11或9 C.11或-9 D.或 4.已知角的终边上一点,且,则 A. B. C. D. 5.已知向量在方向上的投影向量的模为,向量在方向上的投影向量的模为1,且,则 A. B. C. D. 6.如图,在直三棱柱中,,则异面直线与所成角的余弦值等于 A. B. C. D. 7.过抛物线的焦点的直线交于两点,若直线过点,且,则抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 8.已知函数则的图象关于 A.点对称 B.点对称 C.直线对称 D.直线对称 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.已知二项式展开式的第5项为15,则 A. B. C.展开式的系数的最大值为20 D.展开式的各项系数之和为64 10.已知数列满足,则下列结论正确的是 A.若,则 B.若,且,则 C.若,则 D.若,则数列的前项和 11.某书店为了解其受众人群,对100名顾客的年龄进行调研,并将所统计的数据制成如图所示的频率分布直方图.已知是各个小矩形上短边的中点,若点在一条直线上,点在一条直线上,且,则下列描述正确的是 A.的值为0.0108 B.数据的众数大于中位数 C.数据的中位数小于平均数 D.数据的第80百分位数大于60 12.若函数满足:(1),恒有,(2),恒有,(3)时,,则下列结论正确的是 A. B.的最大值为4 C.的单调递减区间为 D.若曲线与的图象有6个不同的交点,则实数的取值范围为 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知向量,若,则实数的一个可能取值为 (答案不唯一) 14.对具有线性相关关系的变量,有一组观测数据,其经验回归方程为,且,则相应于点的残差为 . 15.若是函数的两个极值点,且,则实数的取值范围是 . 16.在三棱雉中,平面平面,底面是边长为3的正三角形,若该三棱雉外接球的表面积为,则该三棱雉体积的最大值为 . 四、解答题:共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 已知函数的内角所对的边分别为,且的外接圆的半径为. (1)求角的大小; (2)求面积的最大值. 18.(本小题满分12分) 一个不透明口袋里有大小、形状、质量完全相同的10个小球,其中有1个红色球、2个绿色球、3个黑色球,其余的是白色球,采取放回式抽样法,每次抽取前充分搅拌. (1)50名学生先后各从口袋里随机抽取1个球,设抽取到的球为黑色或红色的次数为,求的数学期望; (2)甲、乙两人进行游戏比赛,规定:抽到红色球得100分,抽到绿色球得50分,抽到黑色球得0分,抽到白色球得-10分.两人各从口袋里抽取两次,每次随机抽取一个球,求甲的得分比乙的得分高,且差值大于100分的概率. 19.(本小题满分12分) 已知数列满足以下三个条件,从中任选一个. 条件①:为数列的前项和,,且; 条件②:数列是首项为1的等比数列,且成等差数列;数列的各项均为正数,为其前项和,且,数列满足 条件③:数列满足,且. (1)求数列的通项公式; (2)记数列的前项和为,证明:. 注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分. 20.(本小题满分12分) 如图,在四棱雉中,是等边三角形,四边形是矩形,平面平面,且分别是的中点. (1)证明:平面; (2)求二面角的正弦值. 21.(本小题满分12分) 在平面直角坐标系中,已知分别为椭圆的左、右焦点.为椭圆上的一个动点,的最大值为,且点到右焦点距离的最小值为,直线交椭圆于异于椭圆右顶点的两个点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若以为直径的圆恒过点,求证:直线桓过定点,并求此定点的坐标. 22.(本小题满分12分) 已知函数. (1)