第2章三角恒等变换知识点清单-2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

新教材 湘教版2019版 数学必修第二册 第2章 知识点清单 目录 第2章　三角恒等变换 2. 1　两角和与差的三角函数 2. 2　二倍角的三角函数 2. 3　简单的三角恒等变换 2 / 2 第2章　三角恒等变换 2. 1　两角和与差的三角函数 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 名称 公式 两角差的余弦公式(简记为C(α-β)) cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 两角和的余弦公式(简记为C(α+β)) cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 两角差的正弦公式(简记为S(α-β)) sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β 两角和的正弦公式(简记为S(α+β)) sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β 两角和的正切公式(简记为T(α+β)) tan(α+β)= 两角差的正切公式(简记为T(α-β)) tan(α-β)= 2. 我们将求两角和α+β的正弦、余弦、正切的公式都称为和角公式，将求两角差α-β的正弦、余弦、正切的公式都称为差角公式. 3. 它们之间存在着紧密的联系，这种联系可用框图来表示：   二、灵活应用两角和与差的正弦、余弦公式 1. 给角求值 此类题目涉及两角和与差公式的正用和逆用，sin(α+β) =sin αcos β+cos αsin β即为正用， sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β)即为逆用. 公式的逆用是三角函数式变形的重要手段，有时还需把三角函数式中的系数0， 等视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用. 例如：cos α-sin α=sincos α-cossin α=sin. 2. 给值求值 　　解决给值求值的问题时，应先分析已知角与所求角间的关系，再考虑三角函数名称的联系，最后选择合适的公式求值. 解题关键是将所求角用已知角表示出来，即角的代换. 常见的角的代换的形式：α=(α+β)-β，α=β-(β-α)，α= [(α+β)+(α-β)]= [(α+β)-(β-α)]， =-，α+β=(2α+β)-α，2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α-β)等. 3. 给值求角 　　解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定， 最好是角的取值范围在该函数的单调区间内. 当所求角的范围是(0，π)或(π，2π)时，一般求余弦值；当所求角的范围是或时，一般求正弦值. 三、灵活应用两角和与差的正切公式 1. “1”的代换：在T(α±β)中，若分子中出现“1”，则常利用1=tan来代换，以达到化简求值的目的，如=tan=tan等. 2. 整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑T(α±β)的变形公式： ①tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)， ②1∓tan αtan β=. 2. 2　二倍角的三角函数 一、二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S(2α) sin 2α=2sin αcos α C(2α) cos 2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1 T(2α) tan 2α= 二、与二倍角公式有关的公式变形 1. 2sin αcos α=sin 2α，sin αcos α=sin 2α，cos α=， sin α=，cos2α-sin2α=cos 2α，=tan 2α. 2. 1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2. 3. cos2α=，sin2α=. 4. sin 2α=，cos 2α=. 三、利用二倍角公式化简、求值 1. 应用二倍角公式化简、求值的策略 (1)关注四个方向：化简(求值)时分别从“角”“函数名”“幂”“形”四个方向着手分析，充分利用所学的三角函数的和、差、倍角等公式. (2)注意统一：应用二倍角公式解题时，要注意公式中角的形式，若角的形式不统一， 则需利用诱导公式统一角后再利用二倍角公式解题. 四、两角和与差的三角函数与二倍角公式的综合应用 1. 公式的综合应用关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”. 注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧. 2. 三角函数恒等变形的方向 (1)从“角”分析解题思路； (2)从“函数名称”分析解题思路； (3)从“式子结构”分析解题思路. 2. 3　简单的三角恒等变换 一、三角变换公式 名称 内容 半角公式 ：sin=±； ：cos=±； ：tan=± 万