2023年中国数学奥林匹克希望联盟夏营试题(二)（加试）

2023年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（二）加试 河北·石家庄 考试时间：2023年7月20日上午8：00一12：30 一、（本小题50分） 在平面直角坐标系中，甲乙二人在下面的点集P上面玩一个游戏：P={(x,y,y∈0，±1,2》 甲将P的25个点中的13个染为红色.乙手中有一个探测器，可以探知以下各直线上红点的个数. (1)五条竖直线x=0,士1,2： (2)五条水平线y=0,±1,2： (3)九条斜线x+y=0,±1，±2,3,4： (4)九条斜线x-y=0,±1,2,3，±4. 问：乙能否总能确定P中所有红点的位置？证明你的结论. 二、（本小题50分） 给定锐角△ABC,其中AB<AC<BC. (1》请用尺规作出内切圆在BC边上的切点H(无需作出内切圆)，使得作图过程中出现的不同 圆周和直线的总数不超过6个：（这里可以认为直线BC,CA,AB都是已知的） (2)请用尺规作图确定点P使四边形ABPC既有外接圆又有内切圆，（无需解释常规操作，如构 作平行线，垂线，角平分线等等) 注：衡要分别证明(1)所作点H和(2)所作点P满足要求 三.（本小题50分） 给定正整数n,记0=e”,设z为复数，求下式的最小可能值： 四、（本小题50分） 是否存在正整数等差数列a,a2,,a使得y2(C),4(C%),2(C)构成公差为2023的等 差数列.（其中y(m)表示n所含2的幂） 五、（本小题50分） 已知D是△ABC(AB<AC)内一动点，满足AB·CD=AC·BD,证明：存在定点O,使得可 以将△ABD、△ACD的内心、旁心共8个点分为两组，每组的四个点共圆且两圆的根轴恒过点O. 六、（本小题50分） 设A,B,C均为实数集合.证明： |A+B+C≤A+B+CC+A 这里X+Y=x+y川x∈X,yeY).2023 年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（二）加试 河北·石家庄 考试时间：2023 年 7 月 20 日上午 8:00 — 12:30 一、（本小题 50 分） 二、（本小题 50 分） 三、（本小题 50 分） 四、（本小题 50 分） 五、（本小题 50 分） 六、（本小题 50 分）