【数学思想】第1讲：数形结合思想在函数中的应用-备战2024高考数学二轮复习讲义

第1讲　数形结合思想在函数中的应用 我们在解决函数问题的过程中，经常会遇到这样的一种困境：做题时总是感觉看到的式子比较抽象，不容易理解，想来想去总是没有头绪。此时便需要我们将其具象化，而具体化最好的途径便是借助图象。 “数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合可使所要研究的问题化难为易、化繁为简。把代数和几何相结合，它能促进代数问题与图形之间的相互转化，通过改变思维的角度，使我们较快地从所给问题的情境中探究出符合命题目标的某个熟悉的模型，从而迅速、准确、科学地解决问题。 【应用一】利用数形结合判断大小 在做题的过程中，我们经常会遇到比大小问题，遇到这类题，我们的想法往往是先算出所有数的大小，然后放在一起比较，但有的时候，题目中出现的数字我们难以计算，例如：、等，我们没有学过一个数的0.7次方如何计算，此时便需要借助函数图象的性质来辅助我们进行求解，例如下面这道小题： 【例1】（2022•天津）已知，，，则　　 A． B． C． D． 本题要研究和的大小，但是我们很难去计算一个数字的次方，所以可以借助指数函数和的图象的单调性解决问题；对于则可以借助对数函数的图象的单调性进行判断. 【思维升华】 通过本题不难发现，对于一个确定的指数、对数，我们都可以借助指数函数和对数函数的图象来确定他们的大致范围从而比较大小、不仅对指数与对数，未来我们也可以用相同的方法研究一些难以计算的三角函数值等。 【变式1.1】已知正实数满足，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2020•榆林模拟）设，，均为实数，且，则　　 A． B． C． D． 【应用二】利用数形结合处理抽象函数取值问题 抽象函数的取值问题是一类常考题型，而抽象函数的难点也在于它的抽象，所以解决此类问题，化抽象为具体是关键，而具象化最好的方法便是结合图象进行判断，根据函数奇偶性和单调性的特点，结合题目信息易画出函数图像，观察图象在取不同数值时的正负，便能很快使问题得到解决，比如下面这道题： 【例2】（2020•新高考Ⅱ）若定义在的奇函数在单调递减，且（2），则满足的的取值范围是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 根据题目所给的的单调性和奇偶性，可以做出和的大致图象如图： 结合上面两个图象，便能很快得到的方位，然后求得时x的取值范围. 【思维升华】 通过此类问题可以发现，如果已知一个抽象函数没有给我们解析式，只知道它的奇偶性和单调性等性质，我们就可以通过函数性质得到函数的大致图像，从而解决问题，不仅对抽象函数，我们也可以借助相同的方法研究分段函数等其他函数的问题。 【变式2.1】（2022秋·上海虹口·高三上外附中校考阶段练习）已知函数，若存在，使得，则的最小值为__________. 【变式2.2】（2017秋•雅安期末）已知定义在上的函数在上是减函数，若是奇函数，且（2），则不等式的解集是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【应用三】数形结合研究函数的极值 函数的极值问题，既是重点题型又是难点题型，遇到此类题，我们一般的想法是进行求导，实际上，对于已知的基本初等函数求极值的问题，也可以直接做出基本初等函数的图象，结合函数图象使问题得到解决，比如下面这道题： 【例3】（2021•乙卷）设，若为函数的极大值点，则　　 A． B． C． D． 看到求极大值点的问题，我们很有可能条件反射就是“求导”，但是你会发现本题中有两个变量求导并不简单，所以对于一个极值问题，我们除了求导之外，还可以尝试画出他的草图，尤其是像二次函数、三次函数这种我们比较熟悉的函数，我们可以借助函数图像进行求解！ 令，解得或，即及是的两个零点， 当a范围不同时，根据三次函数的性质可以做出的大致图象如下图所示， 通过图象便可很快得到答案。 【思维升华】 本题也是一个运用数形结合简化运算的典型例题，但是我们进行画图时要注意既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求。例如在本题中，如果对变号零点和不变号零点时的特点了解不清楚，在作图时很容易出错。 通过本题可以看出，对于函数的极值问题，除了求导之外，我们也可以借助题目信息和基本初等函数的性质作出大致图象，借助函数图象的单调性和极值便可以使问题得到解决。 【变式3.1】已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3.2】已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【应用四】数形结合研究函数的切线 过某点作已知曲线的切线问题一直时常考题目，也是难点问题，遇到此类方法，我们最直接的想法是利用求导法，此类问题中，我们做的比较多的