第22章 专项3　根的判别式的综合应用-【勤径学升】2023-2024学年九年级上册数学同步练测配套教师用书（华东师大版）

专项3　根的判别式的综合应用 根的判别式与函数的综合应用　  函数y＝kx＋b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程kx2＋bx－7b＝0的根的情况是（　　） 1题图 A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 （广东广州中考）直线y＝x＋a不经过第二象限，则关于x的方程ax2＋2x＋1＝0实数解的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.1或2 一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象如图所示，在第一象限内的图象上是否存在一点P，使过点P所作的两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的四边形的面积为2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 3题图 根的判别式与几何的综合应用　  已知▱ ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个根. （1）当m为何值时，▱ ABCD是菱形？请求出此时该菱形的边长. （2）若AB的长为2，则▱ ABCD的周长是多少？ （四川攀枝花月考）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长分别为关于x的一元二次方程x2－（2k＋3）x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根. （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k＝2时，请判断△ABC的形状并说明理由； （3）k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长. $$专项3　根的判别式的综合应用 1.C 2.D　[解析]∵直线y＝x＋a不经过第二象限，∴a≤0.当a＝0时，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0是一元一次方程，解为x＝－；当a＜0时，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0是一元二次方程.∵Δ＝22－4a＞0，∴方程有两个不相等的实数根.故选D. 3.解：不存在，理由如下： 3题答图 如图，设直线y＝kx＋b（k≠0）交x轴于点A，交y轴于点B， 过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F. ∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象过点A（2，0），B（0，3）， ∴解得 ∴直线AB的表达式为y＝－x＋3. 假设存在满足题意的点P， 设点P的坐标为， 则S矩形OEPF＝OE·OF＝x＝2， 整理得3x2－6x＋4＝0， ∵Δ＝36－48＜0，∴此方程无实数根， ∴在第一象限内的图象上不存在点P，使过点P所作的两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的四边形的面积为2. 4.解：（1）当AB＝AD时，▱ABCD是菱形，即方程x2－mx＋－＝0的两个实数根相等. Δ＝m2－4＝0，解得m＝1. 故当m＝1时，▱ABCD是菱形. 此时方程为x2－x＋＝0，解得x1＝x2＝. 故此时该菱形的边长为. （2）把x＝2代入方程x2－mx＋－＝0，得4－2m＋－＝0，解得m＝. ∴原方程为x2－x＋1＝0. 整理，得2x2－5x＋2＝0， ∴x＝＝，∴x1＝2，x2＝， ∴AD＝. ∴▱ABCD的周长是2×＝5. 5.（1）证明：Δ＝（2k＋3）2－4（k2＋3k＋2）＝1＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根. （2）解：△ABC是直角三角形.理由： 当k＝2时，原方程化为x2－7x＋12＝0， 解得x＝3或x＝4. ∵32＋42＝52，∴△ABC是直角三角形. （3）解：当BC是等腰三角形的腰时，x＝5是方程x2－（2k＋3）x＋k2＋3k＋2＝0的解， ∴25－5（2k＋3）＋k2＋3k＋2＝0，k2－7k＋12＝0， 解得k＝3或k＝4. 若k＝3，则方程为x2－9x＋20＝0， ∴x＝4或x＝5，满足三角形三边关系，此时△ABC的周长为14； 若k＝4，则方程为x2－11x＋30＝0， ∴x＝5或x＝6，满足三角形三边关系，此时△ABC的周长为16； 当BC是等腰三角形的底边时，此时方程x2－（2k＋3）x＋k2＋3k＋2＝0有两个相等的实数根，不符合题意. 综上所述，当k＝3或k＝4时，△ABC为等腰三角形，此时△ABC的周长为14或16. $$