第27章 专项6　证明圆的切线的常用方法-【勤径学升】2023-2024学年九年级下册数学同步练测配套教师用书（华东师大版）

见半径，证垂直　　 (福建厦门模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，过点O作OD∥BC交AC于D，∠ODA＝45°.求证：AC是⊙O的切线． (陕西西安碑林模拟)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连结OC交⊙O于点D，连结BD并延长交线段AC于点E，∠CDE＝∠CAD，求证：AC与⊙O相切． 连半径，证垂直　　 如图，⊙O的直径AB的长为12，P是AB延长线上的一点，且PB＝4，C是⊙O上的一点，PC＝8.求证：PC是⊙O的切线． (湖南郴州中考)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D是的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E. (1)求证：直线DE与⊙O相切； (2)若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长． 如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连结DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若CD＝4，DB＝2，求AE的长． 作垂直，证半径　　 (江苏南京校级期中)如图，OA＝OB＝13 cm，AB＝24 cm，⊙O的直径为10 cm.求证：AB是⊙O的切线． 如图，O为正方形ABCD对角线上一点，BC与以O为圆心，OA长为半径的⊙O相切于点M. (1)求证：CD与⊙O相切； (2)若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径． 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＋BC＝CD，AB为⊙O的直径，求证：CD与⊙O相切． $$专项6　证明圆的切线的常用方法 1．证明：∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B. ∵OD∥BC， ∴∠C＝∠ODA＝45°， ∴∠B＝45°， ∴∠CAB＝180°－45°－45°＝90°， 即AC⊥AB. ∴AC是⊙O的切线． 2．证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＋∠B＝90°. ∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB， ∵∠ODB＝∠CDE，∠CDE＝∠CAD， ∴∠B＝∠CAD， ∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAD＋∠B＝90°， 即BA⊥AC，∴AC与⊙O相切． 3．证明：如答图，连结OC. ∵⊙O的直径AB的长为12， ∴OB＝OC＝6. ∵PB＝4，∴PO＝10. 在△POC中，PC＝6， ∴PC2＋CO2＝82＋62＝100，PO2＝102＝100， ∴PC2＋CO2＝PO2， ∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC. 又∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线． 4．(1)证明：如答图，连结OD. ∵D是的中点，∴OD⊥BC. ∵DE∥BC，∴OD⊥DE. 又∵OD是⊙O的半径， ∴直线DE与⊙O相切． (2)解：∵AC是⊙O的直径， ∴∠B＝90°. ∵∠A＝45°，∴∠ACB＝45°. ∵BC∥DE，∴∠E＝45°. ∵∠ODE＝90°， ∴△ODE为等腰直角三角形， ∴OE＝OD＝5 ， ∴CE＝OE－OC＝5 －5. 5．(1)证明：如答图，连结OC， ∵AB为直径，∴∠ACB＝90°， 即∠BCO＋∠OCA＝90°. 又∵∠DCB＝∠CAD，∠CAD＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠DCB， ∴∠DCB＋∠BCO＝90°， 即∠DCO＝90°. ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线． (2)解：∵∠DCO＝90°， ∴OC2＋CD2＝OD2， ∵OC＝OB，CD＝4，DB＝2， ∴OB2＋42＝(OB＋2)2 ∴OB＝3，∴AB＝6. ∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径， ∴AE是⊙O的切线． ∵CD是⊙O的切线，∴AE＝CE， ∵AD2＋AE2＝DE2， ∴(6＋2)2＋AE2＝(4＋AE)2， 解得AE＝6. 6．证明：如答图，过点O作OC⊥AB，垂足为C. ∵OA＝OB＝13 cm，AB＝24 cm， ∴AC＝AB＝12 cm. 在Rt△OAC中，根据勾股定理，得 OC＝＝5(cm). ∵⊙O的直径为10 cm， ∴⊙O的半径r为5 cm， ∴OC＝r，∴AB是⊙O的切线． 7．(1)证明： 如答图，连结OM，过点O作ON⊥CD于点N. ∵BC与⊙O相切于点M， ∴OM⊥BC. ∵四边形ABCD是正方形， ∴CA平分∠BCD，∴OM＝ON. ∵OM是⊙O的半径， ∴ON是⊙O的半径， ∴CD与⊙O相切． (2)解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，∠ACB＝45°， ∴AC＝，∠MOC＝∠MCO＝45°， ∴MC＝OM＝OA， ∴OC＝＝OM＝OA. ∵AC＝OA＋OC， ∴OA＋OA＝， ∴OA＝2－， 即⊙O的半径为2－. 8．证明：如答图，延长CB至点E，使BE＝AD， 连结DE，过点O作OF⊥DC，垂足为F. 由题意，易得DE经过圆心O. 在△AOD和△BO