第27章 专项5　圆中常作的辅助线-【勤径学升】2023-2024学年九年级下册数学同步练测配套教师用书（华东师大版）

遇弦，作垂直弦的半径　　 (广州番禺区期中)如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为(　　) A． B．2 C．3 D．2 如图，半径OC⊥AB交AB于点D，若CD＝3，BC＝5，求⊙O的半径． 如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，若AD＝4 ，BE＝2，求CD的长． 构造同弧(或等弧)所对的圆周角和圆心角　　 如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，＝，若∠AOB＝58°，则∠BDC的度数为(　　) A．29° B．58° C．116° D．120° 如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°. (1)求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC； (2)若D是的中点，求证：四边形OADB是菱形． 遇直径，构造直径所对的圆周角　　 如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为(　　) A．100° B．110° C．115° D．120° 在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E. (1)如图①，当∠A为锐角时，连结BE，试判断∠BAC与∠CBE的数量关系，并证明你的结论； (2)将图①中的边AB保持不动，将边AC绕点A按逆时针方向旋转，当∠BAC为钝角时，如图②，CA的延长线与⊙O相交于点E，连结BE.请问：∠BAC与∠CBE的数量关系是否与(1)中得出的关系相同？若相同，请加以证明；若不同，请说明理由． 图①　　　 　　　图② 遇半径，构造等腰三角形　　 (潍坊期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心、CA长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，求 所对的圆心角的度数． 如图，A为⊙O上的一点，C为⊙O外的一点，AC交⊙O于点B，且OA＝BC，∠C＝20°，求∠A的度数． $$专项5　圆中常作的辅助线 1．D　[解析]如答图，过点O作OD⊥AB于点D，连结OA.根据题意，得AD＝BD，OD＝OA＝1.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD＝＝＝，所以AB＝2AD＝2 . 　 2．解：如答图，连结OB， 可知BD＝＝4. 设OB＝R，则OD＝R－3， ∴(R－3)2＋42＝R2， ∴R＝. 即⊙O的半径为. 3．解：如答图，连结OD，设OA＝OB＝OD＝R， 则OE＝R－2，AE＝R＋(R－2)＝2R－2. ∵直径AB⊥弦CD于点E， ∴AD2－AE2＝DE2＝OD2－OE2， ∴(4)2－(2R－2)2＝R2－(R－2)2， ∴R2－R－20＝0， ∴R1＝5，R2＝－4(舍去)， ∴DE＝4， ∴CD＝2DE＝8. 4．A　[解析]如答图，连结OC，∵＝，∴∠BOC＝∠AOB＝58°，∴∠BDC＝∠BOC＝29°. 5．证明：(1)∵＝，∴AB＝AC. 又∵∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形． ∴AB＝BC＝CA. ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. (2)连结OD，如答图． ∵D是的中点，∴＝. ∴∠AOD＝∠BOD＝∠ACB＝60°. 又∵OD＝OA，OD＝OB， ∴△OAD和△OBD都是等边三角形． ∴OA＝AD＝OD，OB＝BD＝OD. ∴OA＝AD＝DB＝BO. ∴四边形OADB是菱形． 6．B　[解析]连结AC.∵∠AED＝20°，∴∠ACD＝20°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠BCD＝90°＋20°＝110°. 7．解：(1)∠BAC＝2∠CBE.证明如下： 如答图①，连结AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC. 又∵AB＝AC， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC. ∵∠CAD＝∠CBE，∴∠BAC＝2∠CBE. 图①　　　　　　图② (2)相同．证明如下： 如答图②，连结AD. ∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC. 又∵AB＝AC， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC. ∵∠CAD＋∠DAE＝180°， ∠CBE＋∠DAE＝180°， ∴∠CAD＝∠CBE， ∴∠BAC＝2∠CBE. 8．解：连结CD. ∵∠ACB＝90°，∠B＝36°， ∴∠A＝90°－∠B＝54°. ∵CA＝CD，∴∠CDA＝∠A＝54°， ∴∠ACD＝180°－54°－54°＝72°. 故所对的圆心角为72°. 9．解：连结OB. ∵OB＝OA，OA＝BC， ∴∠ABO＝∠A，OB＝BC， ∴∠BOC＝∠C＝20°， ∴∠ABO＝40°，∴∠A＝40°. $$