第26章 专项3　二次函数的存在性问题-【勤径学升】2023-2024学年九年级下册数学同步练测配套教师用书（华东师大版）

如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3). (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0). (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)该抛物线上有一点D(x，y)(不与点A重合)，使得S△ABC＝S△DBC，求点D的坐标． (陕西中考)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和(－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A、B、C，它的对称轴为直线l. (1)求该抛物线的表达式； (2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D、E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P、点E的坐标． (娄底娄星区模拟)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式； (2)点D为抛物线的顶点，求△BCD的面积； (3)抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． $$专项3　二次函数的存在性问题 1．解：(1)∵抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点， ∴设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3). ∵抛物线与y轴交于点C(0，3)， ∴a(0＋1)(0－3)＝3.解得a＝－1. ∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3. (2)存在．理由如下： 由y＝－x2＋2x＋3，得点D的坐标为(1，4)，对称轴为直线x＝1. ①若PC＝PD，设点P的坐标为(x，y). 根据勾股定理，得x2＋(3－y)2＝(x－1)2＋(4－y)2，即y＝4－x. 又∵点P(x，y)在抛物线上， ∴4－x＝－x2＋2x＋3， 即x2－3x＋1＝0.解得x＝. ∵<1，故应舍去，∴x＝. ∴y＝4－x＝， 即点P的坐标为. ②若DC＝DP，∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性可知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P的坐标为(2，3). ③若CD＝CP，由图象可知此种情况不存在． 综上所述，符合条件的点P的坐标为 或(2，3). 2．解：(1)∵抛物线经过点B(1，0)，C(5，0)， ∴可以设抛物线的表达式为y＝a(x－1)(x－5)(a≠0). 把A(0，4)代入表达式中，得4＝5a，∴a＝. ∴抛物线的表达式为y＝(x－1)(x－5)＝ x2－x＋4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝3. (2)如答图，连结AC与对称轴交于点P，此时△PAB的周长最小． 设直线AC的表达式为y＝kx＋b(k≠0). ∵A(0，4)，C(5，0)， ∴解得 ∴直线AC的表达式为y＝－x＋4. 把x＝3代入表达式中，得y＝. ∴点P的坐标为. (3)根据题意，得点D的纵坐标为±4. ①把y＝4代入y＝x2－x＋4， 得x2－x＋4＝4. 解得x＝0或6. ②把y＝－4代入y＝x2－x＋4， 得x2－x＋4＝－4. 整理，得x2－6x＋10＝0. ∵Δ＝62－4×1×10＝－4<0，∴方程无解． 综合①②可知，点D的坐标为(6，4). 3．解：(1)将(3，12)，(－2，－3)代入y＝x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3. (2)由(1)可得，对称轴l为直线x＝－1. 令y＝0，得x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1. ∴A(－3，0)，B(1，0). 令x＝0，得y＝－3，∴C(0，－3)，∴OA＝OC＝3. ∵∠PDE＝∠AOC＝90°， ∴当PD＝DE＝3时，△PDE与△AOC全等． 设P(m，n)，当点P在l右侧时，m－(－1)＝3， ∴m＝2，∴n＝22＋2×2－3＝5，∴P(2，5)， ∴E(－1，2)或E(－1，8). 当点P在l左侧时，由抛物线的对称性可知， P(－4，5)也满足条件． 相应的点E的坐标同上， ∴满足条件的点P的坐标为(2，5)或(－4，5)，点E的坐标为(－1，2)或(－1，8). 4．解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3. (2)在y＝－x2＋2x＋3中，令x＝0，得y＝3， ∴C(0，3). 设直线BC的表达式为y＝mx＋n(m≠0)， ∵B(3，0)，C(0，3)， ∴解得 ∴直线BC的表达式为y＝－x＋3. ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴D(1，4).