广东省河源市河源中学等校2024届高三上学期开学联考数学试题

2024届新高三开学联考 数学试题 本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z的虚部小于0，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，，则（ ） A. 17 B. 34 C. 48 D. 51 5. 已知，则（ ） A. 9或 B. 81或 C. 9或 D. 81或 6. 已知在上单调递减，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与抛物线相交于、两点，过线段的中点作一条垂直于轴的直线与直线交于点，则的面积为（ ） A B. C. D. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 铁棍的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从9时到16时每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64（单位：cm），则（ ） A. 铁棍的长度的极差为 B. 铁棍的长度的众数为 C. 铁棍的长度的中位数为 D. 铁棍的长度的第80百分位数为 10. 已知圆：，为圆上任意一点，，则（ ） A. B. 直线：过点，则到直线距离为 C. D. 圆与坐标轴相交所得的四点构成的四边形面积为 11. 已知，，若在中，，，且，，则（ ） A. ，夹角为 B. C. 若，则 D. 的边上的中线长为 12. 若实数，满足，则（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若，，则_____. 14. 函数的最大值为______. 15. 已知椭圆：的左焦点为，若关于直线的对称点落在上或内，则椭圆的离心率的取值范围为_____. 16. 在长方体中，，，，为，的中点，在上，且.过，，三点的平面与长方体的六个面相交得到六边形，则点到直线的距离为_____. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在中，内角，，的对边长分别为，，，且. （1）求角； （2）若，周长，求. 18. 正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列，. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 19. 如图，在四棱雉中，分别为的中点，连接. （1）当为上不与点重合的一点时，证明：平面； （2）已知分别为的中点，是边长为的正三角形，四边形是面积为的矩形，当时，求与平面所成角的正弦值. 20. 已知双曲线：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为2. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线交于，两点，为原点，是否存在直线，使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 21. 某学校组织一项竞赛，在初赛中有两轮答题：第一轮从类的三个问题中随机选两题作答，每答对一题得20分，答错得0分；第二轮从类的分值分别为20，30，40的3个问题中随机选两题作答，每答对一题得满分，答错得0分.若两轮总积分不低于90分，则晋级复赛.甲、乙同时参赛，在类的三个问题中，甲每个问题答对的概率均为，乙只能答对两个问题；在类的3个分值分别为20，30，40的问题中，甲答对的概率分别为1，，，乙答对的概率分别为，，.甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.设甲、乙在第一轮的得分分别为，. （1）分别求，概率分布列； （2）分别计算甲、乙晋级复赛的概率