第5章三角函数知识点清单-2022-2023学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

新教材 湘教版2019版 数学必修第一册 第5章 知识点清单 目录 第5章　三角函数 5. 1　任意角与弧度制 5. 2　任意角的三角函数 5. 3　三角函数的图象与性质 5. 4　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 5. 5　三角函数模型的简单应用 2 / 2 第5章　三角函数 5. 1　任意角与弧度制 一、角的概念 1. 角可以看作是平面内一条射线绕着其端点从初始位置旋转到终止位置时所形成的图形. 一条射线绕着端点以逆时针方向旋转所成的角称为正角，以顺时针方向旋转所成的角称为负角，不旋转所成的角称为零角. 二、象限角 1. 取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，那么，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角. 如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限. 三、终边相同的角 1. 所有与角α终边相同的角用集合表示为{β|β=α+k·360°，k∈Z}，当k=0时，角β就是角α本身. 四、角度制与弧度制 1. 角度制与弧度制的概念 角度制 用“度”作单位来度量角的单位制叫作角度制. 规定：1度的角等于周角的 弧度制 规定：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角， “弧度”用符号rad表示. 以“弧度”为单位来度量角的单位制叫作弧度制 2. 角度制与弧度制的换算 360°=2π rad，180°=π rad； 1°= rad≈0. 017 45 rad； 1 rad= °≈57. 30°=57°18'. 2 / 2 五、扇形的弧长与面积公式 1. 设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为n°(0<n<360)，α为圆心角的弧度数，则 扇形的弧长 扇形的面积 l= S= l=αr S= lr= αr2 六、终边相同的角的应用   (1)所有与角α终边相同的角可用集合表示为{β|β=α+k·360°，k∈Z}； (2)当角的顶点和始边相同时，相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等； (3)终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍； (4)始边相同，终边不同，则表示的角一定不相等. 七、确定角 (n∈N，且n≥2)的终边所在象限的方法   1. 分类讨论法 　　利用已知条件写出角α的范围(如k·180°<α<k·180°+90°，k∈Z)，由此确定角的 范围，然后对k进行分类讨论，从而确定角的终边所在的象限. 2. 几何法 　　先把各象限分成n等份，再从x轴的正方向的上方起，按逆时针方向依次将各区域标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ；Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ；……则α原来是第几象限角，标号为几的区域即为角的终边所在的区域，从而确定角的终边所在的象限. 八、求扇形的弧长和面积   1. 由扇形的弧长公式l=αr及面积公式S=lr=αr2知，对于α，r，l，S，可“知其二求其二”，它实质上是方程思想的运用. 2. 扇形的周长及面积的最值问题 (1)当扇形的周长一定时，扇形的面积有最大值. 其求法是把面积S转化为关于半径 r的二次函数，但要注意r的取值范围，要特别注意扇形的弧长必须满足0<l<2πr. (2)当扇形的面积一定时，扇形的周长有最小值. 其求法是把周长C转化为关于半径 r的函数，但要注意r的取值范围. 5. 2　任意角的三角函数 5. 2. 1　任意角三角函数的定义 一、用比值定义三角函数 1. 设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标(x，y)定义：sin α=，cos α=，tan α=，其中r=. 以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切. 2. y=sin α，y=cos α，y=tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数. 以上三种函数都称为三角函数. 其中正弦函数、余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为{α |α≠+kπ，k∈Z}. 二、用有向线段表示三角函数 　　如图，角α的终边与单位圆交于点P，单位圆与x轴的正半轴交于点A，DP，AT均垂直于x轴，我们把有向线段DP，OD，AT分别称为角α的正弦线、余弦线、正切线，记作sin α=DP，cos α=OD，tan α=AT. 正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.   三、三角函数值在各象限的符号 　　如图为角α的正弦值、余弦值、正切值在不同象限的符号情况.   四、利用三角函数的定义求值   1. 已知角α，求其三角函数值 　　在平面直角坐标系中作出角α和单位圆，求出交点坐标，再利用三角函数的定 义求值. 2. 已知角α终边上的一点P(x，y)，求其三角函数值 　　先求出点P与原点间的距离r=，再利用三角函数的定义求解. 　　当点P的坐标中含有参数时，要注意根据实际情况及条件进行分类讨论. 五、利用三角函数线比较大小