第2章 一元二次函数、方程和不等式知识点清单-2022-2023学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

新教材 湘教版2019版 数学必修第一册 第2章 知识点清单 目录 第2章　一元二次函数、方程和不等式 2. 1　相等关系与不等关系 2. 1. 1　等式与不等式 2. 1. 2 基本不等式 2. 1. 3　基本不等式的应用 2. 2 从函数观点看一元二次方程 2. 3　一元二次不等式 2 / 2 第2章　一元二次函数、方程和不等式 2. 1　相等关系与不等关系 2. 1. 1　等式与不等式 一、不等式的性质及其推论 1. 不等式的性质 性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b. 即a>b⇔b<a. 性质2：如果a>b，b>c，那么a>c. 即a>b，b>c⇒a>c. 性质3：如果a>b，那么a+c>b+c. 性质4：如果a>b，c>0，那么ac>bc. 如果a>b，c<0，那么ac<bc. 性质5：如果a>b>0，那么 > (n∈N+). 性质6：如果a>b，且ab>0，那么< . 如果a>b，且ab<0，那么> . 2. 不等式性质的推论 推论1：如果a+b>c，那么a>c-b. 推论2：如果a>b，c>d，那么a+c>b+d. 推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 推论4：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N+). （1）在应用不等式的性质及其推论时，一定要弄清它们成立的前提条件. （2）要注意各性质和推论是否具有可逆性. 二、比较实数(代数式)的大小   1. 作差比较法 (1)依据：a-b>0⇔a>b；a-b<0⇔a<b；a-b=0⇔a=b. (2)应用范围：数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式. (3)步骤：①作差；②变形；③判断符号；④下结论. (4)变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化. 2 / 2 2. 作商比较法 (1)依据：a>0，b>0且>1⇒a>b；a>0，b>0且<1⇒a<b. (2)应用范围：同号两数比较大小. (3)步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④下结论. 三、利用不等式的性质求代数式的取值范围   1. 解决此类问题，一般先建立待求范围的整体与已知范围的关系，然后利用不等式 的性质进行运算，求得待求式的范围. 2. 同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，但这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 2. 1. 2 基本不等式 2. 1. 3　基本不等式的应用 一、基本不等式 不等式 变形 等号成立的条件 注意 a2+b2≥2ab ab≤，ab≤  当且仅当a=b时等号成立 a，b∈R ≥ a+b≥2 a≥0，b≥0 　　一般地，对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数， 称为a，b的几何平均数. 二、 基本不等式与最值 　　已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值2； (2)如果和x+y是定值s，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值. 　　上述结论可归纳为“和定积最大，积定和最小”. 三、利用基本不等式求最值的注意事项   1. 利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”. (1)“一正”：各项必须都是正值. 例如：代数式x+，当x<0时，绝不能认为x+≥2，即x+的最小值为2. 事实上，当x<0时，x+=-≤-2，当且仅当-x=，即x=-1时，等号成立，此时x+取得最大值-2. (2)“二定”：各项之和或各项之积为定值. 例如：已知0<x<，求(5-2x)x的最大值，需变形为(5-2x)·2x·，这时2x+(5-2x)=5为定值，且2x>0，5-2x>0. 当2x=5-2x，即x=时，[(5-2x)x]max=. (3)“三相等”：必须验证等号是否成立. 特别是在连续使用基本不等式求最值时，要求必须同时满足任何一步等号成立的字母取值存在且一致. 四、利用基本不等式求最值   1. 利用基本不等式求最值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值，并保证等号成立，常见的方法技巧如下： (1)拆(裂项拆项)：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定值创造条件. (2)并(分组并项)：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值. (3)配(配式、配系数，凑出定值)：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配出的式子与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以