第50讲 抽样方法与数字特征（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第50讲 抽样方法与数字特征 一、抽样方法 1. 简单随机抽样 (1)定义：设一个总体含有个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法． 2. 分层抽样 (1)定义：在抽样时，将总体分成 互不交叉的层，然后按照一定的比例从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． (2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 二、总体分布特征数的估计 1. 总体特征数的估计 (1)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列,处在中间位置的一个数据或两个数据的平均数； (2)众数：一组数据中重复出现次数最多的数； (3)平均数：一组数据如果有n个数据,则平均数为； (4)方差与标准差：，标准差为； (5)极差：一组数据中最大值与最小值之差. 2.频率分布直方图中的常见结论 (1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标． (2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． (3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的． 3.百分位数 (1)第百分位数的定义:一般地,一组数据的第百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值,且至少有的数据大于或等于这个值. (2)求第百分位数的步骤: 第1步,按从小到大排列原始数据. 第2步,计算. 第3步,若不是整数,而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据;若是整数,则第百分位数为第项与第项数据的平均数. (3)常用的分位数有第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数,这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等,第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等. 三.常用结论 (1)分层抽样的均值与方差： 基本题型：对象占，其均值与方差分别为；对象占，其均值与方差分别为，求对象与的均值与方差. 公式：均值为：；方差为. (2)上述结论可用于分成两组的几个数据. 考点一 分层抽样问题 考点二 频率分布直方图问题 考点三 数字特征问题 考点四 其他图表问题 考点一：分层抽样问题 例1．（2023·陕西西安·校联考一模）某社区有1500名老年居民、2100名中青年居民和1800名儿童居民．为了解该社区居民对社区工作的满意度，现采用分层抽样的方法从这些居民中抽取一个容量为n的样本，若中青年居民比老年居民多抽取20人，则（    ） A．120 B．150 C．180 D．210 【答案】C 【分析】根据分层抽样的方法计算即可. 【详解】由题可知，解得． 故选：C 考点二：频率分布直方图问题 例2．（2023·西藏林芝·统考二模）某中学调查该校学生对新冠肺炎防控的了解情况，组织一次新冠肺炎防控知识竞赛，从该学校1000名参赛学生中随机抽取100名学生，并统计这100名学生成绩的情况（满分100分，其中90分及以上为优秀），得到样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图估计，这1000名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（    ） A．40 B．60 C．80 D．100 【答案】C 【分析】由频率分布直方图求出样本中优秀的学生频率，即可得出答案. 【详解】样本中竞赛成绩为优秀的学生频率为， 则这1000名学生中竞赛成绩为优秀的学生大约有（人）. 故选：C. 例3．（2023·天津河北·统考二模）某校举行知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（    ） A．图中的x值为0.020 B．得分在的人数为400 C．这组数据的极差为50 D．这组数据的平均数的估计值为77 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，以及极值、频数以及平均数的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对于A，由，可解得，故选项A正确； 对于B，得分在80分及以上的人数的频率为， 故人数为，故选项B正确； 对于C，频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项C不正确； 对于D，这组数据的平均数的估计值为：，故选项D正确. 故选：C. 考点三：数字特征问题 例4．（2023·山东滨州·统考二模）某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为，，，则，，的大小关系是（注：同一组中数据用该组区间中点值近似代替）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据频率分