7-5 利用导数研究恒(能)成立问题 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

7-5 利用导数研究恒(能)成立问题 7-5 利用导数研究恒(能)成立问题 1 一、分类题型 1 题型一 分离参数求参数范围 2 题型二 等价转化求参数范围 2 题型三 双变量的恒(能)成立问题 3 三、分层训练：课堂知识巩固 4 一、分类题型 题型一 分离参数求参数范围 【例题精析1】 （2022春·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）已知函数恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题精析2】 （2023·河北·统考模拟预测）若，不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题精析3】 （2023春·河北邯郸·高二统考期末）已知函数. (1)若是增函数，求的取值范围； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略 (1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min； a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. 【对点精练1】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【对点精练2】 （2023春·湖北武汉·高二统考期末）已知函数，时，，则实数的范围是__________. 【对点精练3】 （2023春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是______. 【对点精练4】 （2023·全国·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则m的取值范围为______ 题型二 等价转化求参数范围 【例题精析4】 已知函数f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R)． (1)若函数f(x)在x＝1处的切线与直线3x－y＝0平行，求a的值； (2)若不等式f(x)≥ln x－a＋1对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． 根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解． 【对点精练5】 （2022秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知函数，． (1)研究函数在区间上的单调性； (2)若对于，恒有，求的取值范围． 【对点精练6】 （2023春·福建福州·高二校联考期中）已知函数. (1)令，讨论的极值； (2)若时，恒成立，求正实数a的取值范围. 【对点精练7】 （2023春·重庆·高二校联考期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)设，其中，若恒成立，求的取值范围． 题型三 双变量的恒(能)成立问题 【例题精析5】 （2023春·湖南怀化·高二统考期末）已知函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，存在满足，证明. 【例题精析6】 （2023春·天津静海·高二静海一中校考阶段练习）已知函数（是自然对数的底数） (1)求在处的切线方程. (2)存在成立，求a的取值范围. (3)对任意的，存在，有，则的取值范围. “双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价转换有 (1)∀x1，x2∈D，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max. (2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min. (3)∃x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max. 【对点精练8】 （2023·广西·校联考模拟预测）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)若有两个不同零点，证明：． 【对点精练9】 （2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个极值点，且，求的取值范围． 【对点精练10】 （2023春·重庆南岸·高二重庆市广益中学校校考阶段练习）已知函数． (1)若在单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数有两个极值点，，且，求证：． 三、分层训练：课堂知识巩固 1．（浙江高考）设，若时，均有，则　　． 2．（2023•天津）已知函数． （Ⅰ）求曲线在处的切线斜率； （Ⅱ）当时，求证：； （Ⅲ）证明：． 3．（2016•新课标Ⅲ）已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）设函数，当时，，求的取值范围． 4．（2022•浙江模拟）已知函数的振幅为2，初相为，函数的图象关于轴对称． （Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）函数，若恒成立，求的取值范围． 5．（2022•毕节市模拟）已知． （Ⅰ）若，解不等式； （Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围． 6．（2022•上饶一模）已知函数，． （1）当时，解不等式； （2）若在，时有解，求实数的取值范围． 7．（2022