重难点突破03 归纳平面向量中的范围与最值问题 （十大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

重难点突破03 最全归纳平面向量中的范围与最值问题 目录 技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法： （1）定义法 第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步：得出结论 （2）坐标法 第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步：将平面向量的运算坐标化 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 （3）基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 （4）几何意义法 第一步：先确定向量所表达的点的轨迹 第二步：根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 技巧二．极化恒等式 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： （2）极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 技巧三．矩形大法 矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：． 【证明】（坐标法）设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy， 则，设，则 技巧四．等和线 （1）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然． （2）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线． ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 技巧五．平行四边形大法 1、中线长定理 2、为空间中任意一点，由中线长定理得： 两式相减： 技巧六．向量对角线定理 题型一：三角不等式 例1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，若对任意，恒成立，则 的取值范围是___________. 例2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，若对满足条件的任意向量，恒成立，则的最小值是______________． 例3．已知向量满足，，若关于的方程有解，记向量的夹角为，则的取值范围是___________. 变式1．已知是平面向量，且是互相垂直的单位向量，若对任意均有的最小值为，则的最小值为___________． 变式2．已知平面向量满足，设，若，则的取值范围为________． 变式3．（2023·浙江金华·统考一模）已知平面向量，，满足，，，则的取值范围是___________． 题型二：定义法 例4．已知向量，的夹角为，且，向量满足，且，记，，则的最大值为______. 例5．（2023·四川成都·高二校联考期中）已知向量，，满足，，，向量与向量的夹角为，则的最大值为______． 例6．（2023·浙江绍兴·高二校考学业考试）已知向量，满足，，且，若向量满足，则的最大值是______． 变式4．已知向量，满足，，且，若向量与的夹角为30°，则的最大值是___________. 变式5．已知向量，满足，若以向量为基底，将向量表示成 为实数），都有，则的最小值为________ 变式6．已知向量、满足：，.设与的夹角为，则的最大值为___________. 题型三：基底法 例7．已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分在边BC，CD上，，．若，则的最小值为___________． 例8．（2023·天津·高三校联考阶段练习）已知菱形的边长为，，点、分别在边，上，，，若，则的最小值__________． 例9．如图，菱形ABCD的边长为4，，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为_____________． 变式7．菱形的边长为，，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为______． 变式8．如图，菱形的边长为为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为___________. 变式9．平面四边形ABCD是边长为2的菱形，且，点N是DC边上的点，且，点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点，则的最大值为______. 变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，．若，且，则的最大值为______． 变式11．已知平面向量，，满足，，，且与的夹角为，则的最大值为 ______________． 变式12．已知平面向量、、满足，，，，则最大值为__________. 变式13．在中，为边上任意一点，为的中点，且