奥数：第一章 1.3 简单的等差数列（讲义）-三年级下册数学通用版

1.3 简单的等差数列 新知导航 在加减法的混合计算中,存在一种情况:多个加数(或减数)按照固定的规律依次排列,并且这些数中任意两个相邻的数的差相同,这就是数学王国中最著名的故事“高斯求和”——等差数列求和。 一、等差数列的认识 【基础过关】 热身题:智慧老人觉得龟兔都是可造之才,所以邀请它们来到家里继续学习新的知识。智慧老人给它们讲了数学王子高斯小时候的故事,随后在黑板上写下了这样的一个题:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的结果是多少? 分析:观察发现:本题中的数按从小到大的顺序依次排列,可以使用首尾对应求和的方式变加法为乘法计算。 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6) =11+11+11+11+11 =11×5 =55 老师点睛 当一组数字按照从小到大(或者从大到小)顺次排列且任意两个相邻的数的差相同,这组数被称之为“等差数列”。若求这组等差数列的和,可以按照首尾对应相加的方式使用乘法计算。 二、等差数列的求和计算 【综合提升】 例题1:10+11+12+13+…+19 分析:通过观察可得这是一组等差数列的求和计算,可以采用前面的首尾对 应求和的方法。 10+11+12+13+…+19 =(10+19)+(11+18)+…+(14+15) =29+29+29+…+29 =29×(10÷2) =29×10÷2 =290÷2 =145 老师点睛 在连续自然数组成的等差数列求和计算中,可以将加法改为乘法计算:和=(第一个数+最后一个数)×数的个数÷2。但首先要找到这组等差数列中数的个数,才能完成计算。 【巩固训练】 (1)1+2+3+…+20 (2)3+4+5+…+12 (3)1+2+3+…+40 (4)5+6+7+…+24 例题2:3+6+9+…+60 分析:通过观察可得:这组等差数列的数都是第一个数的倍数,因此在找数的个数时,可以借用倍数的特殊性。 3+6+9+12+…+60 =3×1+3×2+3×3+3×4+…+3×20 =(3+60)×(20÷2) =63×10 =630 老师点睛 由某个数的连续倍数构成的等差数列求和计算中,应通过借用这个数的倍数找这组数的个数。 【巩固训练】 (1)2+4+6+…+20 (2)5+10+15+…+100 (3)4+8+12+…+40 (4)100+90+80+…+10 例题3:2000-5-10-15-20-…-100 分析:通过观察可得:所有的减数一起构成等差数列,因此可以先利用等差数列求和的方法求出所有减数的和,再求差。 2000-5-10-15-20-…-100 =2000-(5+10+15+20+…+100) =2000-(5×1+5×2+5×3+5×4+…+5×20) =2000-(5+100)×(20÷2) =2000-1050 =950 老师点睛 在一组减法算式中,若所有的减数组成一个等差数列,可以先求等差数列的和,再求差。 【巩固训练】 (1)200-1-2-3-4-…-18 (2)730-10-20-30-40-…-100 (3)3343-200-180-160-…-20 (4)(2+4+6+…+80)-(1+3+5+…+79) 例题4:小明想在20天内存够500元钱,他计划第一天存入4元,第二天存入8元,第三天存入12元,依次类推,直到第二十天存人80元。那么小明达到目标了吗? 分析:根据题意可得:小明每天存入的钱构成一个等差数列,可以求等差数列的和来判定他是否达到目标。 4+8+12+…+80 =(4+80)×(20÷2) =84×10 =840 840>500 答:小明达到了目标 老师点睛 应用题中出现一些数按照等差数列的特征排列,若求总数,则可以使用等差数列求和,但一定按照前面的方法找出等差数列中有多少个数。 【巩固训练】 1.光头强计划在60天内砍树500棵,他第一天砍了1棵,第二天砍了2棵, 第天砍了3棵,以此类推,最后一天砍了60棵。光头强的目标达到了吗? 2.奶奶家外的公路边有一堆砖,兄弟两人一起计算这堆砖的总数,哥哥是一块块的数,弟弟发现这堆砖第一层有8块,第二层有16块,第三层有24块,以此类推,最后一层有72块。小朋友们,你们能够快速计算出这堆砖的总数吗? *3.小老鼠带上2000颗花生去旅游30个城市,它的计划是到达第一个城市就吃2颗,到达第二个城市就多吃4颗,到达第三个城市就再多吃4颗,以此类推,到达最后一个城市应该吃118颗。那么小老鼠旅游结束后还剩下多少颗花生? 通过今天的学习,乌龟和兔子都学会了利