7-3 导数与函数的极值、最值 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

7-3 导数与函数的极值、最值 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值． 7-3 导数与函数的极值、最值 1 一、主干知识 1 考点1：极值的定义： 2 考点2：极值的性质： 2 考点3：判别f（x0）是极大、极小值的方法： 2 考点4：求函数f（x）的极值的步骤： 2 【常用结论总结】 2 二、分类题型 3 题型一 利用导数求函数的极值问题 4 命题点1　根据函数图象判断极值 4 命题点2　求已知函数的极值 4 命题点3　已知极值(点)求参数 5 题型二 利用导数求函数最值 5 三、分层训练：课堂知识巩固 6 一、主干知识 考点1：极值的定义： （1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点． 考点2：极值的性质： （1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 考点3：判别f（x0）是极大、极小值的方法： 若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值． 考点4：求函数f（x）的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）＝0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值． 【常用结论总结】 （1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）． （2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小． （3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值． （4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有 限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的， （5） 可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点． 二、分类题型 题型一 利用导数求函数的极值问题 命题点1　根据函数图象判断极值 【例题精析1】 如图为定义在R上的函数的图象，则关于它的导函数的说法错误的是（    ） A．存在对称轴 B．的单调递减区间为 C．在上单调递增 D．存在极大值 【例题精析2】 （2023·上海松江·校考模拟预测）设a、b、c、d，若函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）      A．， B．， C．， D．， 【例题精析3】 （2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）已知函数的大致图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【对点精练1】 （多选）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（    ） A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数 C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点 【对点精练2】 （多选）（2023·全国·高三专题练习）如果函数的导函数的图象如图