第11章 数的开方（单元小结）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

单元小结 数学（华东师大版） 八年级 上册 第11章 数的开方 知识结构 实 数 有理数 无理数 实际问题 平方根 立方根 算术平方根 立方 平方 单元小结 知识点一 平方根、算术平方根和立方根的概念与性质 概 念 表示 主要性质 平方根 算术 平方根 立方根 若 ， 则x叫做a的平方根. 正数有两个平方根，互为相反数 0的平方根是0. 负数没有平方根. 若 则x的非负数值 叫做a的算术平方根. 非负性：当a ≥0时， ≥0. 若 ，则x叫做的立方根. 正数的立方根是一个正数； 负数的立方根是一个负数； 0的立方根是0. 单元小结 联 系 平方根与算术平方根：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种；(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都只有　　 才有；(3)0的平方根、算术平方根均为　 　. 平方根与立方根：(1)都与相应的乘方运算互为　 　运算；(2)都可归结为非负数的非负方根来研究．平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可通过转化为正数的立方根来研究，即 ＝　　 ； (3)0的平方根和立方根都是0.　 非负数 0 逆 － 单元小结 知识点二 开平方与开立方 求一个非负数a的　 　的运算，叫做开平方．其中a叫做　 　. 求一个数a的　 　的运算，叫做开立方．其中a叫做　 　. 开平方与　 　、开立方与　 　都分别互为逆运算． [点拨] (1)求正数的平方根时，往往先求出其算术平方根，再在求出的数前面加上“±”号；(2)根据平方(立方)运算与开平方(开立方)运算互为逆运算的关系，我们可以通过平方(立方)运算来求一个数的平方根(立方根)． 平方根 被开方数 立方根 被开方数 平方 立方 单元小结 强调：数的开方的几个重要性质 性质 1 ： a ≥ 0 (a ≥ 0) （双重非负性） 性质 2 ： ( a ) 2 = a (a ≥ 0) 性质 3 ： （a≥0） a （a＜0） -a a 2 = |a| = 性质4： [点拨]算术平方根的双重非负性：算术平方根的符号“ ”不仅是一个运算符号(对被开方数实施开平方运算)，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根． 单元小结 知识点三 用计算器求算术平方根、立方根 1. 用计算器求一个正数的算术平方根 2. 用计算器求立方根 用计算器求一个数a的立方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入 （ ） SHIFT a = a = 用计算器求一个正数a的算术平方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入 单元小结 知识点四 实数的概念与分类 1.实数的分类 (1)按定义分： (2)按符号分： 实数 有 理 数 分数 整数 无 理 数 （有限小数及 无限循环小数） （无限不循环小数） 实 数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 2.实数与数轴 (1)实数和数轴上的点是一一对应的关系； (2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 3.在实数范围内，有理数的有关概念、大小比较法则、运算法则以及运算律同样适用. 单元小结 考点训练一 平方根的相关概念与应用 【例1】一个正数的两个平方根分别为5-a和2a-1，则这个正数是（  ） A．81 B．25 C．16 D．9 【详解】解：一个正数的两个平方根分别为5-a和2a-1， 5-a=-（2a-1） 解得：a=-4， 5-a=9 这个正数是81， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根的性质，解题关键是掌握正数的两个平方根互为相反数． 单元小结 【例2】下列说法正确的是（    ） A．2是4的平方根 B．-4的平方根是±2 C．4的平方根是2 D．（-2）2的算术平方根是-2 【详解】A．因为22=4，所以2是4的平方根，故选项A符合题意； B．负数没有平方根，故选项B不符合题意； C．4的平方根是±2，故选项C不符合题意； D．算术平方根是正数，故选项D不符合题意． 单元小结 针对训练 1．如果a，b是2023的两个平方根，那么a+b-2ab= ． 【详解】解：∵a，b是2023的两个平方根， ∴a+b=0，ab=-2023， 则a+b-2ab=0-2×(-2023)=4046 故答案为：4046． 单元