专题6.1 平面向量的概念及其运算（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题6.1 平面向量的概念及其运算 【核心素养】 1.考查平面向量的有关概念，以及对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养． 2．考查向量的线性运算，以及用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养． 3．结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养． 知识点一 向量的概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点二 平面向量的线性运算 一．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律：； (2)结合律： 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 二．向量的数乘运算及其几何意义 1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. 2．运算律：设λ，μ是两个实数，则： ①；②；③. 知识点三 共线向量定理 共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. 知识点四 两个向量的夹角 1．定义 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角． 2．范围 向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°. 3．向量垂直 如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b. 知识点五 平面向量的数量积 1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角． 规定0·a＝0. 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0. 2．a·b的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 知识点六 数量积的运算律 1．交换律：a·b＝b·a. 2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)． 知识点七 向量数量积的性质 1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥ba·b＝0. 3．a·a＝|a|2，. 4．cos θ＝.(θ为a与b的夹角) 5．|a·b|≤|a||b|. 常考题型剖析 题型一：向量的有关概念 【典例分析】 例1-1.（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）下列说法正确的是（    ） A．若，则与的方向相同或者相反 B．若，为非零向量，且，则与共线 C．若，则存在唯一的实数使得 D．若，是两个单位向量，且．则 例1-2.（2023·北京大兴·校考三模）设，是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【规律方法】 (1)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量，－是与a反方向的单位向量． (2)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小． (3)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件． （4）几个重要结论 ①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； ②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． 【易错提醒】 1．有关平面向量概念的注意点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆． (4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点． (5)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定． 【变式训练】 变式1-1.（2023·全国·高三对口高考）给出下列四个命题： ①若，则； ②若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点； ③若，则； ④若，，则； 其中正确的命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式1-2.（2022秋·四川成都·高三校考期中）关于向量，，，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 题型二：平面向量的线性运算 例2-1.（2022·全国·统考高考真题）在中，点D