2.2圆的对称性（二）垂径定理（十一大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》 2.2 圆的对称性 第二课时 垂径定理 知识点一 圆的对称性 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 知识点二 垂径定理 ◆1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的依据是圆的轴对称的性质. 推导格式： ◆2、垂径定理的用法： （1）连接圆心与弦的一端，与过圆心且垂直与弦的线段和弦的一半构成直角三角形（即垂径定理三角形），利用勾股定理列式求值. （2）如图弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： （3）r ,a，d，h，已知其中任意两个量，即可求出另外两个量. 知识点三 垂径定理的推论 ◆1、垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ◆2、垂径定理及其推论：一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） ◆3、垂径定理的几个基本图形： 题型一 垂径定理有关的概念 【例题1】下列说法中错误的有（　　） ①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧； ②弦的垂线平分它所对的两条弧； ③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧； ④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解题技巧提炼 1、垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 2、一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 【变式1-1】（2023•肃州区三模）下列语句中，正确的有（　　） （1）相等的圆心角所对的弧相等； （2）平分弦的直径垂直于弦； （3）长度相等的两条弧是等弧； （4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-2】如图，已知⊙O的直径AB⊥CD弦于点E，则下列结论不一定成立的是（　 　） A．CE＝DE B．AE＝OE C．∠COA＝∠DOA D．△OCE≌△ODE 【变式1-3】如图，在⊙O中，MN是直径，AB是弦，且MN⊥AB，垂足为C，下列结论： ①AC＝BC，②，③，④OC＝CN上述结论中，正确的有　 　（填序号） 题型二 利用垂径定理求线段长 【例题2】（2022春•海门市期中）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的垂线段OE长为3cm，则半径OA的长为 　 　cm． 解题技巧提炼 作弦的垂线并连接圆心与弦的一个端点，构造“垂径定理三角形”，利用勾股定理求解. 【变式2-1】（2023春•渝中区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于E，若， BE＝2，则AB的长是（　　） A．12 B．16 C． D． 【变式2-2】（2023•伊川县一模）如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为（　　） A． B． C． D．1 【变式2-3】（2022•丹江口市模拟）如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A，B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为（　　） A．3 B．2 C．4 D．4 【变式2-4】（2023•蒙阴县三模）已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上，若PA＝2，PB＝4，则OP＝（　　） A． B． C． D．3 题型三 利用垂径定理求角度 【例题3】（2022秋•诸城市校级月考）如图，⊙O的直径是4cm，C是的中点，弦AB、CD交于P，CD＝2cm，求∠APC的度数． 解题技巧提炼 主要是利用垂径定理以及等腰三角形的性质和三角形的内角和等知识来求解． 【变式3-1】如图，AB为⊙O的直径，AD是⊙O的弦，E是AD的中点，连接OE并延长交⊙O于点C，若∠BAD＝20°，求∠ACO的度数． 【变式3-2】如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．135° 【变式3-3】如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE． （1）若AB＝6，求DE的长； （2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数． 题型四 利用垂径定理求最值 【例题4】（2022秋•道外区期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点