2023年第四届百年老校数学竞赛第一天（8月2日）试题

CSMC 第四届百年老校数学竞赛 江苏苏州 第一天 2023 2023年8月2日8：00-12：30 一.已知正实数x,yz满足xyz=1.证明： 1 1 1+x++1+y+2+1+2+产1 二.平面上互不相同的七个点A,B,C,D,M,BQ满足下列条件： (1)四边形ABCD是两组对边都不平行的凸四边形 (2)△MAB∽△MDC且为顺相似； 3)△PAB∽△PDC且为逆相似，△QAD∽△QBC且为逆相似. 证明：直线APBM,CQ交于一点. 注：对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那 么称这两个三角形互为顺相似，否则称这两个三角形互为逆相似， 0 三.对正整数n,称两个n元0-1数组a=(x1,x2,,xn)与B=(1,,,yn) 相邻，如果∑1-y=1. 证明：对任意整数m>22026,均存在正整数k,以及由m个两两不同的k 元0-1数组构成的集合A,使得A中每个数组都至少与A中2023个数组相邻. 注：如果将22026换为更大的数并证明结论，可以得到部分分数，