第49讲 概率问题（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第49讲 概率问题 1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和 2.事件的关系与运算 名称 条件 结论 符号表示 并（和）事件 A发生或B发生 事件A与事件B的 并事件（或和事件） （或） 交（积）事件 A发生且B发生 事件A与事件B的 交事件（或积事件） （或） 互斥事件 为不可能事件 事件A与事件B互斥 对立事件 为不可能事件 为必然事件 事件A与事件B互为 对立事件 3.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)所有的基本事件只有有限个； (2)每个基本事件的发生都是等可能的． (3). 4.相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件与，如果，则称事件与事件相互独立，简称为独立. (2)性质：若事件与相互独立，那么与，与，与也都相互独立. 5.条件概率及其性质 (1)定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率 (2)性质：设，则 ①； ②如果和是两个互斥事件，则； ③设和互为对立事件，则； ④概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则. 6.全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有. 7.常用结论 (1)已知和时，可直接利用概率的乘法公式求出. (2)缩小样本空间法：借助古典概型概率公式，先求事件包含的样本点数，再求事件包含的样本点数，利用，求出. 考点一 互斥事件、对立事件与独立事件概率的求法 考点二 古典概型问题 考点三 利用条件概率公式求解条件概率 考点四 利用全概率公式求解概率问题 考点一：互斥事件、对立事件与独立事件概率的求法 例1．甲、乙、丙三人各进行一次打靶，三人打中的概率分别为，则三人中至少有一人打中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三人中至少有一人打中的对立事件是三人均打不中，运用间接法解决即可. 【详解】三人中至少有一人打中的对立事件是三人均打不中， 三人均打不中的概率为， 所以三人中至少有一人打中的概率为． 故选：A 考点二：古典概型问题 例2．（2023·山西晋中·统考三模）田忌赛马的故事每个人都耳熟能详，众所周知，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．假设田忌与齐王有上等、中等、下等马各一匹，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列出随机试验从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛的样本空间，再确定事件田忌的马获胜所包含的样本点的个数，利用古典概型概率公式求概率. 【详解】依题意，记田忌的上等马、中等马、下等马分别为，，， 齐王的上等马、中等马、下等马分别为，，. 由题意可知，可能的比赛有方案有： ，，，，，，，，，共9种， 其中田忌可以获胜的事件为，，，共3种， 则田忌的马获胜的概率为. 故选：A. 考点三：利用条件概率公式求解条件概率 例3．（2023·江苏·统考二模）已经连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，都出现了正面向上的结果，第3次随机地抛掷这枚硬币，则其正面向上的概率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】记为3次抛掷的结果，.写出所有的样本点，设出事件，根据古典概型的概率公式，求出前两次正面向上的概率以及三次正面向上的概率，然后即可根据条件概率的公式，求出答案. 【详解】记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上为1，反面向上为0， 记为3次抛掷的结果，. 则试验的所有结果可能为，，，，，，，，，共有8个样本点. 其中，前2次都出现了正面向上的结果，包含的样本点有，，共2个； 3次都为正面向上，包含的样本点有，共1个. 设前2次都出现了正面向上为事件，3次都为正面向上为事件， 则，， 显然， 所以，在前2次都出现了正面向上的结果下，第3次正面向上的概率. 故选：C. 例4．（2023·陕西西安·统考三模）羽毛球单打实行“三局两胜”制（无平局）．甲乙两人争夺比赛的冠军．甲在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出甲获胜的概率、甲获得冠军且比赛进行了三局的概率，利用条件概率公式求概率即可. 【详解】由甲获胜的概率为， 而甲获得冠军且比赛进行了三局，对应概率为， 所以在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为. 故选：A 考点四：利用全概率公式求解概率问题 例5．已知P（B）=0.3，，，则=（