2023年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题(三)

2023年中国数学奥林匹克希望联盟夏今黄试晒二) Lenep 年联妇特省新传效得自士· 河北·石家庄 华法草。公号5荐皮： 考试时间：2023年7月22日上午8：00一9：20 一、填空题（本大题共8道小题，每小题8分） 1.已知集合A={(x,y)r2-y2=,集合B={(xy)y=a+1,keR},若A门B至少有两个子集，则k的取值 范田为 x2 之已知藏列a=nc0s受n=2,,函数儿闭=2-2x+2·则数列/a,》的前2024项和的m为一 3若正数名y湖足y=4000,且0gx-g20gy-g2)=6,则x,y中较大较的整数部分的位数为 。一2一实都为0，则：-3-2列的取值范围为】 4.设zeC满足名+i 5在△1Bc中，∠1CB-号D为边B上-动点，沿CD每折得到直二面角A仁-cD-B,若BC=2,AC=3,则 翻折后AB的最小值为 6.从正六边形的顶点以及各边中点（共12个点）中随机选取三个不同的点，这三个点能形成等腰三角形的概率为 7.抛物线y2=4x过焦点F的直线（与抛物线交于A,B两点，垂直于x轴的直线与以AB为直径的圆相切于点P (P点的横坐标小于0)，则△AFP面积的最小值为 8.在3×3的方格表中任意填入正整数，使得每行、每列的三个数之和都是7，则符合条件的填法总数为 二、解答题（本大题共3道小题，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9.在斜△ABC中，角4B,C的对边分别为a,bc,且满足asin2C+ccosA=b.若cosB=号，M为4C中点， 且BM■I,求△ABC的面积 10.如图，已知点D1,),直线x+2a2y-3a=0交双曲线C:y=1于不同于D的两点A,B.过A作直线BD的 垂线交双曲线C于E（E在三角形ABD内部)，记△ABD,△ABE的面积分别为S,S,求S,-S,的最小值. 1山.已知复数，，，如的和为0，求觉-的最小值 2023年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（三）加试 河北·石家庄 考试时间：2023年7月22日上午9：40一12：30 一、（本小题40分） 如图，⊙Q与⊙O,相交于X,Y两点，AB是它们的一条外公切线.过X作⊙O,⊙O 两圈的切线。分别交直线OO于K,L两点.证明：AK,BL,X灯三线共点。 二、（本小题40分） 设a,42,,4m是和为1000的100个正整数.记 S=a a+aa++aaoo 求S的最大值，并确定使S取到最大值的所有可能数组(ai42,”,4o)的个数。 三、（本小题50分） 求最大的正整数n,使平面直角坐标系xOy内存在：个各边平行于坐标轴的矩形区城 C,C,,C,(不含边界)，满足：若i/,则C,C,无公共点当且仅当i+/是完全平方数. 四、（本小题50分） 给定奇素数P,定义集合 卫={x2模p所得余数=12，…，P-。 证明：可以将2的所有数排列在圆周上，使得任意相第两个数之和模P的余数不属于？