第5讲：含有绝对值的不等式的性质讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第5讲 含有绝对值不等式的性质 【课型】新授课 【学习目标】1.掌握含有绝对值不等式的性质 2.会用性质处理一些简单的最值问题 【预习清单】 【知识梳理】 1.含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a,b是实数，则」 ≤a+b≤ 当且仅当ab≤0时，左边等号成立；当且仅当ab≥0时，右边等号成立. (1)如果a,b是实数，则 ≤a-b≤ 当且仅当ab≥0时，左边边等号成立：当且仅当ab≤0时，右边等号成立： 2.利用含有绝对值的不等式的性质处理最值问题 (1)4+≥la±，即(a+吵mm= 2)la±l≤d+,即la±n≤ (3)a-b≤a±b,即 ≤4-以s 【引导清单】 考向一：利用含有两个绝对值的性质求最值 【例1】(1)对任意x,y∈R,求|x-1+x+y-1+y+1的最小值. (2)对于实数x,y,若x-1≤1，y一2≤1，求x-y+1的最大值. 考向二：利用含有两个绝对值的性质处理恒成立与能成立问题 【例2】(1)若存在实数x使x一a+x一1|≤3成立，求实数a的取值范围. (2)若关于x的不等式|2022-x+|2023一x≤d有解，求d的取值范围. 【训练清单】 【变式训练1】(1)求x-1-x+5的最大值。 (1)求x+1f(1a))+x-a(a>0)的最小值. 【变式训练2】(1)若关于x的不等式a≥x+1+x一2有解，求实数a的取值范围。 (2)己知函数f(x)=x-a2+x-2a+1,若f(x)≥4恒成立，求a的取值范围. 【巩固清单】 1.已知函数f(x)=|x+3一x一2. (1)求不等式f(x)≥3的解集； (2)若f(x)≥a一4有解，求a的取值范围. 2.已知函数f(x)=x十m一5一x(m∈R). (1)当m=3时，求不等式f(x)>6的解集： (2)若不等式f(x)≤10对任意实数x恒成立，求m的取值范围. 3.已知函数f(x)=x-2一x-5. (1)证明：-3≤f(x)≤3： (2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集. 第5讲 含有绝对值不等式的性质 【课型】新授课 【教学目标】1.掌握含有绝对值不等式的性质 2.会用性质处理一些简单的最值问题 【预习清单】 【知识梳理】 1．含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a，b是实数，则≤|a+b|≤|a|＋|b|， 当且仅当ab≤0时，左边等号成立；当且仅当ab≥0时，右边等号成立． (1) 如果a，b是实数，则≤|a-b|≤|a|＋|b|， 当且仅当ab≥0时，左边边等号成立；当且仅当ab≤0时，右边等号成立； 2．利用含有绝对值的不等式的性质处理最值问题 （1），即| （2），即 （3），即 【引导清单】 考向一： 利用含有两个绝对值的性质求最值 【例1】(1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值． (2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－y＋1|的最大值． 【解】(1)∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2， ∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3. (2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－(y－2)|≤|x－1|＋|y－2|≤1+1=2，即|x－y＋1|的最大值为2. 考向二： 利用含有两个绝对值的性质处理恒成立与能成立问题 【例2】(1)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，求实数a的取值范围． (2)若关于x的不等式|2022－x|＋|2023－x|≤d有解，求d的取值范围． 【解】(1)∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.(2)(1)∵|2022－x|＋|2023－x|≥|2022－x－2023＋x|＝1，∴关于x的不等式|2022－x|＋|2023－x|≤d有解时，d≥1 【训练清单】 【变式训练1】（1）求|x－1|－|x+5|的最大值。 （1）求＋|x－a|(a>0)的最小值． 【解】（1）因为|x－1|－|x+5|≤|（x－1）－（x+5)|=6,所以|x－1|－|x+5|的最大值为6（2）由a>0，有＋|x－a|≥＝＋a≥2.当且仅当“a＝1”时等号成立，＋|x－a|(a>0)的最小值为2． 【变式训练2】（1）若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，求实数a的取值范围。 （2）已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|，若f(x)≥4恒成立，求a的取值范围． 【解析】（1）由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以|x＋1|＋|