2023年第二十届中国东南地区数学奥林匹克高一第二天试题

第二十届中国东南地区数学奥林匹克 浙江·温州 高一年级第二天 2023年7月31日上午8：00-12：00 1.如图，AB是半圆O上异于直径的弦，M是线段AB的中点，是一条平行于AB ,的直线，使得线段0M的延长线与相交于圆外一点D,P,Q是1上的两个点，P0 与半圆O相交于点C,且LPCD=∠DMC.若点M是AOPQ的垂心，证明：直线AQ 与PB的交点在半圆O上， 2.设n为正整数，a1≥a22…之am>0.证明： 侵++…+≥k- ay a2 an 台a欧++暖 8.称正整数S为“有英数”，如果存在正整数n以及2个正整数a,a2,,a b1,b2mbn,使得s=%1a4b,且1(a-)=1,1(a4+b0=2023.求： (1)最小的育英数： (2)最大的育英数. 4.设p(x)为n(n之2)次整系数多项式，若存在无穷多个正整数m,使得p(m)至 多有n一1个不同的素因子，证明：p(x)至多有n一1个不同的有理根.第二十届中国东南地区数学奥林匹克 浙江·温州 高一年级 第二天 2023年 7 月 31日 上午 8:00-12:00 1. 如图，𝐴𝐵是半圆𝑂上异于直径的弦，𝑀是线段𝐴𝐵的中点. 𝑙是一条平行于𝐴𝐵的直线，使 得线段𝑂𝑀的延长线与𝑙相交于圆外一点𝐷，𝑃, 𝑄是𝑙上的两个点，𝑃𝑂与半圆𝑂相交于点𝐶,且 ∠𝑃𝐶𝐷 = ∠𝐷𝑀𝐶.若点𝑀是∆𝑂𝑃𝑄的垂心，证明：直线𝐴𝑄与𝑃𝐵的交点在半圆𝑂上. 证明：设 BP 与半圆O交于点 E ，连结 AE 并延长交直线 l 于点 1Q ，我们只要证明 M 是 1OPQ 的垂心. 连结 PMBQDBDEADAP 、、、、、 1 . DMCPCD = ， OMCOCD = ，又 MOCCOD = ， OCD OUV A BC∽   OMC ， ODOMOC = 2 ， OCOA = ， ODOMOA = 2 ，又 ODAM ⊥ ， ADOA⊥ ， DA与半圆O相切. ABEDAE = ， ABPD // ， ABEDPE = ， DAEDPE = ， EAPD 、、、 四点共圆， DA 与半圆O相切， DB与半圆O相 切，同理 EBQD 、、、 1 四点共圆. 11 DBQDEQDPA == ， 1PAD PED BQ D = = ， DPA OUV A BC∽  1DBQ ， 1DQ DB DA DP = ， 221 DBDADBDADQDP === . ( ) 2221 2 1 2 1 22 1 22 1 22 ODDADQODDQDPDQPODQDPPOPQ −+=−+=−+=− ( ) 221 22 1 22 1 2 DMDQODDODMMODMDMDQODDODMDQ +=−+++=−+= 22 1 MOMQODMOMODM −=−+ ， 1OQPM ⊥ ，又 1PQOD ⊥ ， M 是 1OPQ 的垂心. 2. 设n为正整数， 1 2 0na a a ．证明： 2 2 2 2 11 2 1 2 1 1 1 (2 1)n kn k k k a a a a a a ． 证明：对 n用数学归纳法证明结论． 当 1n 时，原不等式为 2 2 1 1 1 1 a a ，显然成立． 假设 n m时成立，则当 1n m 时，由归纳假设知 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 m m m m ma a a a a a a a a 2 2 2 1 1 2 1 1 1 (2 1) 2 2 1 1n k k m m m k k a a a a a a a ． ① 由柯西不等式， 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 (2 2 ) (2 1)m m m m a a a m a a a ， 故 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 (2 1) 2 2m m m m m m m m a a a a a a a a a 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 (2 1) ( ) ( )m m m m m a a a a a 2 2 2 2 2 1 1 1 (2 1) ( )m m m m a a a ma 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 (2 1) ( ) ( ) 1 m m m m m m a a a a a a m 2 2 2 1 1 ( 1)(2 1) m m m m a a a ， ② 其中倒数第二步用到了 1 0 (