1.1.1空间向量及其运算课时分层练-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.1.1 空间向量及其运算——2023-2024学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册课时分层练 【夯实基础】 知识点1 空间向量的概念 1.给出下列命题： ①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量满足,则； ③若空间向量满足,则； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤零向量没有方向. 其中假命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列关于空间向量的命题中,真命题的个数是( ) ①任一向量与它的相反向量不相等； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③若,则； ④两个向量相等,则它们的起点与终点相同. A.0 B.1 C.2 D.3 知识点2  空间向量的加法运算 3.空间中任意四个点,则( ) A. B. C. D. 4.平行六面体中,O为与的交点,则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 5.如图,在长方体中,( ) A. B. C. D. 知识点3 空间向量的线性运算 6.如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，点N在BC上，且，，则( ) A. B. C. D. 7.在空间四边形ABCD中，连接AC,BD，若是正三角形，且E为其重心，则的化简结果是( ) A. B. C. D. 知识点4   空间向量的数量积 8.已知空间向量a，b，c和实数，则下列说法正确的是( ) A.若，则或 B.若，则或 C.若，则或 D.若，则 9.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a,E,F,G分别是AB,AD,DC的中点，则下列向量的数量积等于的是( ) A. B. C. D. 10.已知正方体的棱长为a,且与相交于点O,则有( ) A. B. C. D. 【提升能力】 11.（多选）已知正方体,则下列各式运算结果是的为( ) A. B. C. D. 12. （多选）在四面体中,下列说法正确的是( ) A.若,则 B.若为的重心,则 C.若,则 D.若四面体的各棱长都为2,分别为的中点,则 13.在正三棱柱中，M为的重心，若,,，则_______________. 【核心素养】 14.如图所示,已知空间四边形,连接分别是的中点,请化简以下式子,并在图中标出化简结果. (1); (2). 15.如图，在长方体中，，，，且，，. (1)用a，b，c表示，； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 答案以及解析 1.答案：D 解析：①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点将构成一个球面,而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量与的方向不一定相同.③真命题.向量的相等具有传递性.④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1,但方向不一定相同,所以不一定相等.⑤假命题.零向量的方向是任意的. 2.答案：B 解析：因为零向量与它的相反向量相等,所以①不是真命题；根据向量的定义,知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量,所以②是真命题；当时,也有,所以③不是真命题；只要模相等,方向相同,两个向量就是相等向量,与向量的起点与终点无关,所以④不是真命题.综上可知,只有②是真命题,故选B. 3.答案：C 解析：利用空间向量运算法则即可得出. 4.答案：A 解析：.故选A. 5.答案：D 解析：在长方体中,.故选D. 6.答案：A 解析：如图，连接MB，则 . 故选A. 7.答案：C 解析：如图所示，取BC的中点F，则，又E为正三角形BCD的重心，即DF上靠近F的三等分点,所以，则. 8.答案：B 解析：对于选项A，若，则或或，故A错误； 对于选项B，由，可得或，故B正确； 对于选项C，由，得，即向量, 的模相等，但方向不确定，故C错误； 对于选项D，由，得，则或或，故D错误.故选B. 9.答案：C 解析：由题意可知，,,.E,F,G分别是AB,AD,DC的中点，且，且，，.故选C. 10.答案：B 解析：对于A，,故A错误； 对于B，,故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选B. 11.答案：ABC 解析：选项A中,； 选项B中,； 选项C中,； 选项D中,.故选ABC. 12.答案：ABC 解析：对于A,， , ,， ,即，故A正确； 对于B,若Q为的重心,则,,,即,故B正确； 对于C,若,则, , , , , , , ,,故C正确； 对于D,, . ， ,故D错误.故选ABC. 13.答案： 解析：如图，连接并延长，交于点D， 在正三棱柱中，M为的重心，，，，. 14.答案：(1),如图中向量. (2),如图中向量. 解析： 15.答案：(1)， (2) 解析：(1)， . (2)因为，