5.4.2反函数的图像同步练习 -2023-2024学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

【学生版】 5.4.2反函数的图像 学习目标 1、理解互为反函数的两个函数间的关系与性质； 2、了解互为反函数的函数图象间的关系； 知识梳理 1、反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域； 2、原函数和反函数图像关于直线对称； 3、原函数和反函数均为单调函数，具有相同的单调性。 每日作业 一、选择题 1、奇函数有反函数，则必有在的图像上点是（ ） A． B． C． D ． 2、定义域为R的函数的反函数为，且对于任意实数有，则（ ） A．0 B． C．2 D． 二、填空题 1、设函数：则＝___________． 2、设常数，函数，若的反函数的图像经过点，则 。 3、设函数的图像关于点对称，且存在反函数，则___________。 4、若点既在的图像上，又在它的反函数的图像上，则 ， . 5、已知函数有反函数，则= 6、若为函数的反函数，则的值域为______。 7、设是函数的反函数，则成立时的取值范围是 8、设的反函数为，若，则的值为 三、解答题 1、已知函数； （1）若，求的取值范围；（6分） （2）若满足且是偶函数，且当时，有，求函数的反函数； 2、已知，是上的奇函数．（1）求的值，（2）求的反函数，（3）对任意的解不等式。 四、思考题 设，是奇函数，且； （1）、试求的反函数的解析式及的定义域； （2）、设，若时，恒成立，求实数的取值范围。 【教师版】 5.4.2反函数的图像 学习目标 1、理解互为反函数的两个函数间的关系与性质； 2、了解互为反函数的函数图象间的关系； 知识梳理 1、反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域； 2、原函数和反函数图像关于直线对称； 3、原函数和反函数均为单调函数，具有相同的单调性。 每日作业 一、选择题 1、奇函数有反函数，则必有在的图像上点是（ ） A． B． C． D ． 解析：因为函数是奇函数，所以，函数图像上过点，也过点，又因为函数与图像关于直线对称，则函数的图像过点； 答案：B； 2、定义域为R的函数的反函数为，且对于任意实数有，则（ ） A．0 B． C．2 D． 解析：由已知关于点对称，所以，其反函数必关于点对称， 注意到，∴0； 答案：A； 二、填空题 1、设函数：则＝___________． 解析：利用反函数与原函数的关系，由已知，可得：f(x)＝16， 即：，所以， 又因为x≥16，所以(舍去)，则，也就是：； 答案： 2、设常数，函数，若的反函数的图像经过点，则 。 解析：由的反函数的图像经过点，则原函数经过定点， 将代入，得，解得； 答案：7； 3、设函数的图像关于点对称，且存在反函数，则___________。 解析：由，可知函数的图像过点。而点关于点的对称点为。由题意知点也在函数的图象上，即有，所以。 答案：2； 4、若点既在的图像上，又在它的反函数的图像上，则 ， . 解析：，. 答案： 5、已知函数有反函数，则= 解析：由互为反函数的性质得， 答案：m。 6、若为函数的反函数，则的值域为______。 解析：通法是先求出的反函数，可求得的值域为，而利用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质，立即得的值域为； 答案：； 7、设是函数的反函数，则成立时的取值范围是 解析：由，知函数在R上为增函数，所以在R上也为增函数。 故由，有，而，可得； 答案：； 评注：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求，但比较繁琐。而下面的题目选用常规方法解则更为简便。 8、设的反函数为，若，则的值为 解析：设，则,即 ，即，同理 所以，即所以 答案：2； 三、解答题 1、已知函数； （1）若，求的取值范围；（6分） （2）若满足且是偶函数，且当时，有，求函数的反函数； 解析：（1）由，得。 由得。 因为，所以，解得。 由得，。 （2）当时，， 所以。 由单调性可得。 因为，所以所求反函数是，。 2、已知，是上的奇函数．（1）求的值，（2）求的反函数，（3）对任意的解不等式。 解析：（1）由题知，得，此时 ， 即为奇函数． （2）因为，得， 所以． （3）因为，∴，∴， ①当时，原不等式的解集， ②当时，原不等式的解集。 四、思考题 设，是奇函数，且； （1）、试求的反函数的解析式及的定义域； （2）、设，若时，恒成立，求实数的取值范围。