5.4.1反函数的概念同步练习 -2023-2024学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

【学生版】 5.4.1反函数的概念 学习目标 1、理解反函数的概念； 2、初步掌握求反函数的方法； 知识梳理 1、反函数的概念； 2、互为反函数的两个函数间联系； 3、求一个函数的反函数的步骤； 每日作业 一、选择题 1、函数= ()的反函数为（ ） A. B. C. D. 2、函数在区间上存在反函数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（难度以高考第1—8题为准） 1、函数的反函数为___________ 2、定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为　　． 3、已知点在函数的图象上，则的反函数　　 ． 4、若函数的反函数为，则 5、已知函数，则= ；= ； 6、已知函数（定义域为、值域为）有反函数，则方程有解，且的充要条件是满足 7、设，则关于的不等式的解集为 8、函数的定义域为A,若A，且 时总有，则称为单函数.例如是单函数，下列命题： ①函数是单函数； ②指数函数是单函数； ③若为单函数，且，则； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 三、解答题 1、已知，是上的奇函数． （1）求的值， （2）求的反函数， （3）对任意的解不等式． 2、已知函数的反函数，； （１）若，求的取值范围； （２）设函数，当时，求的值域。 四、思考题 已知函数y＝f－1(x)是y＝f(x)的反函数．定义：若对给定的实数a(a≠0)，函数y＝f(x＋a)与y＝f－1(x＋a)互为反函数，则称y＝f(x)满足“a和性质”；若函数y＝f(ax)与y＝f－1(ax)互为反函数，则称y＝f(x)满足“a积性质”． （1）判断函数g(x)＝x2＋1(x>0)是否满足“1和性质”，并说明理由； （2）求所有满足“2和性质”的一次函数； （3）设函数y＝f(x)(x>0)对任何a>0，满足“a积性质”．求y＝f(x)的表达式． 【教师版】 5.4.1反函数的概念 学习目标 1、理解反函数的概念； 2、初步掌握求反函数的方法； 知识梳理 1、反函数的概念； 2、互为反函数的两个函数间联系； 3、求一个函数的反函数的步骤； 每日作业 一、选择题 1、函数= ()的反函数为（ ） A. B. C. D. 解析：由已知，得，再将=两边平方，得，即。将、对换，得，又函数=的值域为，所以的定义域为； 答案：A。 2、函数在区间上存在反函数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 解析：因为二次函数不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间或上是单调函数。而已知函数在区间上存在反函数 所以或者，即或； 答案：C； 二、填空题（难度以高考第1—8题为准） 1、函数的反函数为___________ 答案： 2、定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为　　． 【分析】由奇函数的定义，当时，，代入已知解析式，即可得到所求的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值． 解析：若为奇函数，可得当时，，即有， 由为奇函数，可得，则，， 由定义在上的函数的反函数为，且， 可由（2），可得的解为． 答案为：； 3、已知点在函数的图象上，则的反函数　　 ． 解析：因为点在函数的图象上，所以，解得． 所以，由，解得，． 把与互换可得：的反函数． 故答案为：，． 4、若函数的反函数为，则 解析：方法一：故； 方法二：，故 答案： 5、已知函数，则= ；= ； 解析：由函数，解得其反函数为：， 则，同法解得； 答案：； ； 评述：由上题解答或从互为反函数两者间的联系，则可归纳得； 。 6、已知函数（定义域为、值域为）有反函数，则方程有解，且的充要条件是满足 答案：． 7、设，则关于的不等式的解集为 解析：方法1：令，由于，故， 解出，所以，则，即，则， 所以，又，所以，的解集为； 方法2：易求的值域是，故的定义域是． 显然是增函数，因此对两端用作用，不等号不变， 即，所以，又考虑到必须在的定义域内， 所以，的解集为。 答案： 8、函数的定义域为A,若A，且 时总有，则称为单函数.例如是单函数，下列命题： ①函数是单函数； ②指数函数是单函数； ③若为单函数，且，则； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 解析：选项①：方法1：由可得不合定义 方法2：在上为减函数，