专题40 数列的综合应用-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题40数列的综合应用 知识梳理 考纲要求 方法技巧 题型归类 题型一：数学文化与数列的实际应用 题型二：等差、等比数列的综合 题型三：数列与其他知识的交汇 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题. 2.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题． 【方法技巧】 1.数列应用问题常见模型 (1)等差模型：后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值． (2)等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应考虑an与an＋1(或者相邻三项)之间的递推关系，或者Sn与Sn＋1(或者相邻三项)之间的递推关系． 2.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系．数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用b1＝1，d>0证明不等式成立．另外本题在探求{an}与{cn}的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法． 3.数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明． 二、【题型归类】 【题型一】数学文化与数列的实际应用 【典例1】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　) A．3 699块 B．3 474块 C．3 402块 D．3 339块 【典例2】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm× 6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么k＝_______ dm2. 【典例3】《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日为春分时节，其日影长为(　　) A．4.5尺 B．3.5尺 C．2.5尺 D．1.5尺 【题型二】等差、等比数列的综合 【典例1】设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2. (1)求{an}的通项公式； (2)求ea1＋ea2＋…＋ean. 【典例2】设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝3，an＋1＝2an＋1. (1)证明：{an＋1}为等比数列； (2)求{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？说明理由． 【典例3】已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S100. 【题型三】数列与其他知识的交汇 【典例1】已知数列{an}是公比不等于1的正项等比数列，且lg a1＋lg a2 021＝0，若函数f(x)＝，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 021)＝(　　) A．2 020 B．4 040 C．2 021 D．4 042 【典例2】已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，且∀n∈N*，2Sn＝(n＋1)an，bn＝Sn，则数列{bn}的前2 020项之和T2 020＝________． 【典例3】设数列{an}的通项公式为an＝2n－1，记数列的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2－a恒成立，则实数a的取值范围为________． 三、【培优训练】 【训练一】已知数列{an}满足an＋am＝am＋n(m，n∈N*)且a1＝1，若