2023年第二十届中国东南地区数学奥林匹克高一组第二天试题

第二十届中国东南地区数学奥林匹克 浙江·温州 高一年级第二天 2023年7月31日上午8：00-12：00 1.如图，AB是半圆O上异于直径的弦，M是线段AB的中点，是一条平行于AB ,的直线，使得线段0M的延长线与相交于圆外一点D,P,Q是1上的两个点，P0 与半圆O相交于点C,且LPCD=∠DMC.若点M是AOPQ的垂心，证明：直线AQ 与PB的交点在半圆O上， 2.设n为正整数，a1≥a22…之am>0.证明： 侵++…+≥k- ay a2 an 台a欧++暖 8.称正整数S为“有英数”，如果存在正整数n以及2个正整数a,a2,,a b1,b2mbn,使得s=%1a4b,且1(a-)=1,1(a4+b0=2023.求： (1)最小的育英数： (2)最大的育英数. 4.设p(x)为n(n之2)次整系数多项式，若存在无穷多个正整数m,使得p(m)至 多有n一1个不同的素因子，证明：p(x)至多有n一1个不同的有理根.