2.4 函数的奇偶性与简单的幂函数课时分层练-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

2.4 函数的奇偶性与简单的幂函数——2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修第一册课时分层练 【夯实基础】 知识点1  函数的奇偶性 1.设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，则( ) A. B. C. D. 2.设函数为奇函数，则实数( ) A.-1 B.1 C.0 D.-2 3.已知是定义在R上的偶函数，且在区间上为增函数，若，则满足不等式的x的取值范围为( ) A. B. C. D. 4.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则( ) A.-7 B.7 C.-5 D.5 知识点2  简单幂函数的图像和性质 5.下列函数既是偶函数又是幂函数的是( ) A. B. C. D. 6.若幂函数的图像过点，则它的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 7.若幂函数的图像经过点，，则( ) A.4 B. C.2 D. 8.已知幂函数的图象不过原点，则实数( ) A.1 B.-1 C.4 D.-4 9.若幂函数的图像不过原点，则m的取值是( ) A. B.或 C. D. 【提升能力】 10.（多选）已知幂函数（，m，n互质），下列关于的结论正确的是( ) A.m，n是奇数时，是奇函数 B.m是偶数，n是奇数时，是偶函数 C.m是奇数，n是偶数时，是偶函数 D.时，在上是减函数 11. （多选）若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②若对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有( ) A. B. C. D. 12.若是R上的奇函数，且，则的值为________. 13.若幂函数过点，则满足不等式的实数a的取值范围是___________. 【核心素养】 14.已知函数的定义域为，函数. （1）求函数的定义域； （2）若为奇函数，并且在定义域上单调递减，求不等式的解集. 15.已知幂函数在上是单调递减函数. （1）求m的值； （2）若在区间上恒成立，求实数a的取值范围. 答案以及解析 1.答案：B 解析：因为为偶函数，所以关于对称，① 因为为奇函数，所以② 在②中，令，可得 因为关于对称，所以， 再在②中，令，得，故选B. 2.答案：A 解析：根据题意，函数为奇函数，则有，即，变形可得，则有. 3.答案：D 解析：本题考查函数的奇偶性，单调性，不等式的解法.据题，得，又因为函数在上为增函数，所以，从而有或，故选D项. 4.答案：D 解析：本题考查函数的奇偶性.根据题意，当时，，则，又由函数为R上的奇函数，得. 5.答案：B 解析：对于A，函数是奇函数，不合题意； 对于B，函数是偶函数且是幂函数，符合题意； 对于C，函数不是偶函数，不合题意； 对于D，函数不是幂函数，不合题意.故选B. 6.答案：D 解析：幂函数的图像过点，，解得，，它的单调递增区间是.故选D. 7.答案：B 解析：因为函数为幂函数，所以设. 由函数的图像经过点，得，即，所以， 故，故选B. 8.答案：B 解析：本题考查幂函数性质.幂函数不过原点，则，解得. 9.答案：B 解析：由幂函数的定义，可得，解得或2.当时，，其图像不过原点；当时，，其图像不过原点.故或. 10.答案：AB 解析：，当m，n是奇数时，是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数时，是偶函数，故B中的结论正确；当m是奇数，n是偶数时，在时无意义，故C中的结论错误；当时，在上是增函数，故D中的结论错误.故选AB. 11.答案：BD 解析：由题中①知，为奇函数；由题中②知，为减函数.在A中，函数为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，所以不是“理想函数”；在B中，函数为定义域上的奇函数，且在定义域上为减函数，所以是“理想函数”；在C中，函数为定义域上的偶函数，且在定义域内不单调，所以不是“理想函数"；在D中，函数的大致图像如图所示， 显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以是“理想函数”，综上，选BD. 12.答案：-13 解析：因为是R上的奇函数，所以，且. 因为，所以，则. 13.答案： 解析：设幂函数为，因为其图象过点，所以，解得，所以.因为在R上为增函数，所以由，得，解得. 所以满足不等式的实数a的取值范围是. 14.答案：（1） （2） 解析：（1）由题意可知，解得， 的定义域为. （2）由得， . 是奇函数，， 又在上单调递减， ，解得. 不等式的解集为. 15.答案：（1） （2） 解析：（1）在区间上是单调递减函数，则， 解得，又，所以. （2），则在上恒成立， 则，可知当时，， 所以实数a的取值范围是. $$