专题5.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题5.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用 【核心素养】 1.通过三角函数式的化简、求值或求角问题，结合拆角、凑角方法，综合考查和差倍半三角函数公式的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．应用三角恒等变换，首先化简三角函数式，进一步研究三角函数的图象和性质，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 知识点一 三角函数解析式 （1）的有关概念 ， 表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 （2）用五点法画一个周期内的简图 用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： － 知识点二 三角函数图象的变换 1.函数图象的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减 把函数向左平移个单位，得到函数的图象; 把函数向右平移个单位，得到函数的图象;+网】 把函数向上平移个单位，得到函数的图象; 把函数向下平移个单位，得到函数的图象. 伸缩变换: 把函数图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图象; 把函数图象的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图象; 把函数图象的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图象; 把函数图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数的图象. 2. 由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象. 注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到. 知识点三 函数的图象与性质 （1）的递增区间是，递减区间是. （2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为． （3）若为偶函数，则有;若为奇函数则有. （4）的最小正周期都是. 常考题型剖析 题型一：求三角函数解析式 【典例分析】 例1-1.【多选题】（2023春·江西南昌·高一校联考阶段练习）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：）时，过山车（看作质点）离地平面的高度．轨道最高点距离地平面，最低点距离地平面，入口处距离地平面时，过山车到达最高点时，过山车到达最低点，下列结论正确的是（    ）    A．函数的最小正周期为12 B．时，过山车距离地平面 C．时，过山车距离地平面 D．一个周期内过山车距离地平面低于的时间是 例1-2.（2021·全国·统考高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为 ． 例1-3.（2023·全国·统考高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【规律方法】 1.由的图象求其函数式：在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ． (1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定． (2)ω：因为T＝，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T． (3)φ：从“五点法”中的第一个点(－，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置． 依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π． 在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内． (4)A，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ． 2.利用图象变换求解析式： 由的图象向左或向右平移个单位，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得. 【变式训练】 变式1-1.（2022·全国·