2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第二章 等式 §2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1 情境与问题 《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何,根据题中的描述可画出示意图如图所示，其中A 点代表北门，B处是木C点代表南门，而且AB=20，CD=14，DE=_______. 1775 情境与问题 如果设正方形的边长为x步，则有 根据△ABF∽△DBE可知 从而AF·DB=AB·DE，因此 整理得 x²+34x-71000=0 .你会解这个方程吗？ 我们知道，形如 ax²+bx+c=0 的方程为一元二次方程，其中a,b,c是常数，且a≠0. 从上一节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，例如情境与问题中所得到的方程就是这种情形，此时该怎么办呢？ 尝试与发现 你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？举例说明. 不难知道，如果一个一元二次方程可以化为x2=t的形式，其中t为常数，那么这个方程的解集是容易获得的. 例如，方程 x²=3 的解集为 方程 x2 = -2的解集为∅. ，方程 x2=0 的解集为{0}， 一、一元一次方程的解集 1.一般地，方程 x²=t： （1）当t>0时，解集为___________； （2）当t=0时，解集为___________； （3）当t<0时，解集为___________. 例如： x²=3的解集为 x²=0的解集为{0}； x²=-2的解集为∅. 一、一元一次方程的解集 2.一般地，方程 (x-k)²=t： （1）当t>0时，解集为______________； （2）当t=0时，解集为___________； （3）当t<0时，解集为___________. 例如： (x-1)²=2的解集为 (x-1)²=0的解集为{1}； (x-1)²=-1的解集为∅. 因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为(x-k)²=t的形式，就可以得到方程的解集. 尝试与发现 怎样将 x2+2x+3=0 化为 (x-k)2=t 的形式？动手试试看,并写出这个方程的解集. 利用配方法可得 因此x2+2x+3=0可以化为(x+1)2=-2，从而解集为∅. 一、一元一次方程的解集 事实上,利用配方法,总是可以将ax2+bx+c=0(a≠0)化为(x-k)2=t的形式,过程如下:因为a≠0,所以 一、一元一次方程的解集 因此ax2+bx+c=0可化为 从而可知，△=b²-4ac的符号情况决定了上述方程解集情况： （1）当△=b²-4ac>0时，方程的解集为 （2）当△=b²-4ac=0时，方程的解集为 （3）当△=b²-4ac<0时，方程的解集为∅. 一、一元一次方程的解集 一般地， △=b²-4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式.由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定。 前述情境与问题中的方程x²+34x-71000=0可以化为(x+17)2=71289，从而可解得x=250或x=-284(舍). 一、一元一次方程的解集 例1 求方程 分析 这不是一个一元二次方程，但是通过把看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程. 解：设 因此可知 从而 ，所以原方程的解集为 二、一元二次方程根与系数的关系 我们知道，当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时，这 个方程的解可以记为 当△=0时，x1=x2，按照初中的习惯，我们仍称方程有两个相等的实数根. 计算 这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系. 二、一元二次方程根与系数的关系 例2 已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为x1与x2，求下列各式的值： （1）x12+x22； （2）|x1-x2|. 解：由一元二次方程根与系数关系，得 （1）由上有 （2）因为 所以 练习A 1.已知A={x|x²-16=0}，B={x|x²-x-12=0}，求A∩B，A∪B. A={4，-4}，B={4，-3}，所以A∩B={4}， A∪B={4，-4，-3}. 2.已知关于x的方程x²-3mx+1=0有两个相等的实数根，求实数m的取值集合. 由题可知，(-3m)²-4=0，所以 故实数m的取值集合为 $