收心专题07 四边形综合问题（练习）-2023年人教版八年级下册暑假收心专题专练特辑

专题07 四边形的综合问题 1． 掌握中点四边形的结论和推导过程； 2． 掌握十字架模型的结论和推导方法； 3． 掌握利用平行四边形和特殊平行四边形的对称性求阴影部分面积的问题； 4． 掌握最值问题的解题方法 5． 掌握其它综合问题的常见题型及方法。 ★知识点01 中点四边形问题 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形. ◎结论1：点M、N、P、Q是任意四边形的中点，则四边形MNPQ是平行四边形.◎结论2：对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形 ◎结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 ◎结论4：对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。 【例】．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得四边形EFGH． (1)求证：四边形EFGH是平行四边形． (2)当四边形ABCD分别是菱形、矩形、正方形时，相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表： 四边形ABCD 菱形 矩形 正方形 平行四边形EFGH 【收心练1】．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，依次连接，，，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，与有怎样的位置关系？请说明理由； 【收心练2】．（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形． （1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形． 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． 【收心练3】．（2022秋·九年级课时练习）如图，E、F、 G、H分别为四边形ABCD四边之中点． (1)求证：四边形EFGH为平行四边形； (2)当AC、BD满足______时，四边形EFGH为矩形． ★知识点02 十字架模型问题 ◎结论：正方形内部，AE⊥BF，则 AE=BF,△ABE≌△BCF . 相等未必垂直 过点H作HP⊥CD与P，作I关于HP对称点Q,虽然HI＝JK，但HQ≠JK 方法总结：正方形内两条互相垂直的直线与各边的交点所得的线段，那么这两条线段相等。 证明方法往往通过证明三角形全等，如果没有，则按照上图构造两个全等三角形，结合平行四边形的性质节课得出结论 【例】．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，现有一张边长为的正方形纸片，点为正方形边上的一点（不与点，点重合）将正方形纸片折叠，使点落在边上的处，点落在处，交于，折痕为，连接，.则的周长是 ． 【收心练1】．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，将边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若MN＝4，则线段CN的长是 ． 【收心练2】．．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，将一块边长为 12 cm 正方形纸片 ABCD 的顶点 A 折叠至DC 边上的 E 点，使 DE＝5，折痕为 PQ，则 PQ 的长为 cm． 【收心练3】．（2023春·浙江·八年级专题练习）正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G． （1）如图1，求证AE⊥BF； （2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN； ★知识点03 利用对称性求阴影部分面积 【例】．（2020秋·福建泉州·八年级统考期中）如图，点M是的中点，点P在上．分别以，为边，作正方形和正方形，连接和，设，，且，．则图中阴影部分的面积为 ． 【收心练1】．．（2022秋·九年级课时练习）将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的 ． 【收心练2】．．（2019春·吉林长春·八年级校联考期末）如图，ABCD的顶点在矩形的边上，点与点不重合，若的面积为4，则图中阴影部分两个三角形的面积和为 . 【收心练3】．．（2023春·广东东莞·八年级校考期中）如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为 . ★知识点04 四边形中的线段最值问题 【例】．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）如图，正方形的