5.6 几何证明举例 课件 2023-2024学年青岛版八年级数学上册

第5章 几何证明初步 5.6 几何证明举例（1） 学习目标 1.证明角角边定理； 2.根据判定两个三角形是否全等，进而推证有关线段或角相等。 已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，AB=A’B’，∠B=∠B’， ∠C=∠C’. 求证：△ABC≌△A’B’C’ 证明：在△ABC和△A’B’C’中 ∵ ∠B=∠B’， ∠C=∠C’( ), ∴ ∠A=180°－∠B－∠C, ∠A’=180°－∠B’ －∠C’( ), ∴∠A=∠A’ ( ) ∵AB =AB’( ) ∴△ABC≌△A’B’C’ (ASA) 已知 三角形内角和定理 等量代换 已知 今后，我们把全等三角形的判定方法3作为全等三角形的判定定理: 两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等. 从基本事实 SAS，ASA，SSS 以及定理 AAS 出发可以判定两个三角形全等，利用全等三角形对应边和对应角的定义，可以进一步推证两个全等三角形的有关线段或角的相等。 典例精析 分析：要证∠A=∠C，只要证明它们所在的两个三角形全等即可，但是图中没有两个全等三角形时，应通过尝试添加辅助线构造全等三角形，使待证的角或线段是这两个全等三角形的对应角或对应边。 例1：已知：如图，AB=CB，AD=CD. 求证：∠A=∠C. 证明：连接BD. 在△ABD和△CBD中， ∵AB=CB，AD=CD（已知）， BD=BD(公共边) ∴△ABD≌△CBD（SSS）. ∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）. A B D C C B D A 两个三角形全等，它们对应边上的高线、对应边上的中线、对应角的平分线有什么性质呢？ 全等三角形对应边上的中线、对应角的角平分线、对应边上的高都相等。 当堂小练 1.已知，如图AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C. 思考： 怎样添加辅助线才能使∠A与∠C存在于两个全等三角形中而且是两个三角形的对应角呢？ 2.如图：已知，AB∥CD,∠1=∠2，∠3=∠4. 求证：BC=AB+CD 课堂小结 1、判定两个三角形全等的基本事实有： SAS，ASA，SSS. 2、证明两个角或两条线段相等时，可以考察它们是否在给出的两个全等三角形中。如果不在，可尝试通过添加辅助线构造两个全等三角形，使待证的角或线段分别是两个全等三角形的对应角或对应边。 课后作业 完成练习 11 谢谢观看 谢谢观看 $第5章 几何证明初步 5.6 几何证明举例（2） 学习目标 1.进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。 2.能用“公理”和“已经证明的定理”为依据， 证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 证明定理、命题的过程： 1.用数学语言描述定理，即写出“已知，求证”，画出图形； 2.写证明过程。 命题：等腰三角形的两个底角相等 （简称：等边对等角） 已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. A B C D 分析：常见辅助线做法 (1)作底边上的高；(2)作顶角的平分线；(3)作底边上的中线。通过添加辅助线把三角形ABC分成两个全等的三角形，只要证得被分成的两个三角形全等即可得∠B=∠C. 不同与课本的辅助线作法及证明方法。 已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. A B C D 证明：作底边BC上的高AD交BC于点D. 在Rt△ABD和Rt△ACD中, ∵AB=AC(已知)，AD=AD(公共边)， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)。 ∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等). ∴∠ADB=∠ADC=90°(垂线的定义) 得等腰三角形的性质定理1: 等腰三角形的两个底角相等。 等腰三角形的性质定理2： 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合(简称“三线合一”)。 通过Rt△ABD≌Rt△ACD，还可以推得BD=DC，∠BAD=∠CAD。因而AD不仅是底边的高线，还是底边的中线和顶角的平分线。 结合小莹的作法，都可得结论： A C B D A C B D ∥ ∥ 图（2） 图（3） ∟ 1 2 ∥ A C B D 1 2 性质定理2符号语言的应用 ∟ （1）∵AB=AC, ∴AD⊥BC, BD=CD. ∠1=∠2, ∴AD⊥BC BD=CD, ∠1=∠2. （3）∵AB=AC, AD⊥BC ∴BD=CD, ∠1=∠2. 图（1） ∟ ∥ 1 2 （2）∵AB=AC, 对于“等腰三角形的两个底角