2023年第五届中国北方希望之星夏令营数学试题

务 第五届中国北方希望之星数学夏令营 山东济南 第一天2023年7月27日 8:00-12:00 每题15分 1.设正实数44am满足：（)对1=L2,10,有a之(2对1=l2,9,有aaS1. 求S=2a,的最大值。 2.如图，四点A、B、C、D均在⊙O上，直线AD与直线BC相交于 点E,直线AC与直线BD相交于点F,线段EF的延长线交⊙O于 点P,PQ是⊙O的直径.点S,T分别在直线AQ、BQ上，OS⊥AC, OT⊥BD.求证：∠APS=∠BPT.(请在答题纸上画出解答用图) 3.给定正整数k.已知无穷数列a,a,…满足：a,=1,且对任意正整 数n,都有 ka。+l,(m,a)=l da= (m,a)>1. 证明：存在正整数M,使得对任意正整数n,都有a.<M. 4.给定一个半径为1的⊙O,甲乙两人进行如下游戏： 第1步，甲选择⊙O上一对对径点，然后乙选择这两个点中的一个作为4： 第2步，乙选择⊙O上一对对径点，然后甲选择这两个点中的一个作为A: 依此类推，两人交替进行，直到第2023步，甲选择⊙0上一对对径点，然后乙选择这两 个点中的一个作为A23: 最后，乙选择⊙O上一点P,并计算 s=∑PaPa 作为甲的得分.试问甲最多能够保证自己得到多少分？ 务 第五届中国北方希望之星数学夏令营 山东济南 第二天2023年7月28日8：0012：00 每题15分 5.求最大的正整数n,使得对任意正整数x,y,:,都有n(x2-y2)y2-)(2-x2), 6.标准足球可以看作具有60个项点、12个五边形面和20个 六边形面的多面体.足球上的每个顶点处恰好聚集了红、 黄、蓝三种颜色的小虫各一只。受到开场哨的惊吓，每只 小虫都爬至与其初始位置相邻的某个顶点.试问此时是否 可能每个顶点上聚集的小虫都是同一种颜色？ 7.设f(x)是关于x的三次实系数多项式，g(x)是关于x的二次实系数多项式.已知方程 g(f(x)=0有6个互不相同的正整数解，求这些解的和的最小可能值， 8.平面上给定⊙O和点P,点P与点O不重合，求证：平面上存在定点S,使得对于⊙O上 的任意相异四点A、B、C、D,均有SP·SP=S2·SP,其中P、B、P、P分别是点P 到直线AB、BC、CD、DA的射影.