等差数列 讲义-2024届高考数学一轮复习

等差数列 【核心知识整合】 考点1：等差数列的有关概念及运算 1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 2.等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，. 3.通项公式 首项为，公差为d的等差数列的通项公式为. 4.通项公式的推广 . 5.等差数列的前n项和 （1）； （2）. 考点2 ：等差数列的性质 已知数列是等差数列，是的前n项和. （1）若，则有. （2）等差数列的单调性： 当时，是递增数列； 当时，是递减数列； 当时，是常数列. （3）若是等差数列，公差为d，则是公差为md的等差数列. （4）若是等差数列，则也是等差数列，其首项与的首项相同，其公差是的公差的. （5）若是等差数列，分别为的前m项，前2m项，前3m项的和，则成等差数列，公差为（d为数列的公差）. （6）关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质 （i）若项数为2n，则. （ii）若项数为2n-1，则，. （7）两个等差数列、的前n项和之间的关系为 [典型例题] 1.已知等差数列，，，则( ). A.m B.n C.0 D. [答案]：C [解析] 设等差数列的公差为d，由题意得，则，即，所以. 故选C. 2.已知等差数列满足，，则( ). A.12 B.13 C. D. [答案]：B [解析] 因为等差数列满足，，所以解得，，则.故选B. 3.已知等差数列的前m项之和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为( ). A.130 B.170 C.210 D.260 [答案]：C [解析] 由于等差数列中，，也成等差数列，即30，70，成等差数列，所以，即.故选C. 4.若是公差不为0的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于( ). A.-10 B.-5 C.0 D.5 [答案]：C [解析] 由题意，得， 从而， 即. 又因为，所以， 则该数列的前10项和.故选C. [变式训练] 1.已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为( ) A.1 B.2 C.-2 D.-1 [答案]：B [解析] 设等差数列的公差为d.由已知条件，得 ，即，解得.故选B. 2.已知等差数列，是其前n项和，若，则( ). A.15 B.18 C.9 D.12 [答案]：D [解析] 因为，所以，得，故.故选D. 3.已知等差数列的前n项和为，若，则( ) A.8 B.12 C.14 D.20 [答案]：D [解析] 等差数列的前n项和为，， 则，，，构成首项为2，公差为2的等差数列 则. 故选D. 4.记等差数列的前n项和为，若，则( ) A.2 B.4 C.8 D.16 [答案]：C [解析] 由题知， 即，， .故选C. 【规律总结】 1.在等差数列问题中最基本的量是首项a1和公差d，在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组，从而求出这两个量，那么其他问题也就会迎刃而解，这就是解决等差数列问题的基本量的方法，这其中蕴含着方程思想的运用． 2.判断或证明数列是否为等差数列，一般是依据等差数列的定义，或利用等差中项进行判断． 学科网（北京）股份有限公司 $