从阿波罗尼斯圆到阿波罗尼斯球讲义-2023届高三数学二轮复习

从阿波罗尼斯圆到阿波罗尼斯球 一．阿氏圆的定义与应用 定义：已知平面上两点，则所有满足的动点的轨迹是一个以定比为内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，圆的半径为，圆心为. 解析：设．因为且由两点间距离公式得，化简得． 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，且有圆与轴交于 ， 则有，则由角平分线定理,可知是的内角平分线. 例1.中，，，则的面积最大值为_______. 解析：由，见系代入得．设圆心为，显然当轴时，面积最大，此时．所以． 例2．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点，（在的上方），且． （1）圆的标准方程为___________； （2）过点任意作一条直线与圆相交于，两点，下列三个结论 ①；②；③ 其中正确结论的序号是__________________． 解析：（1）依题意，设（为圆的半径），因为 所以，所以圆心为，故圆的标准方程为． （2）在（1）的基础上易得，于是，．所以．由阿波罗尼斯圆的定义知圆是以，为定点，且比值为的阿波罗尼斯圆故①成立；因为 ，所以②成立；③成立．因此正确结论的序号是①②③． 二.逆用阿波罗尼斯圆 1.阿氏圆定义：已知平面上两点，则所有满足的动点的轨迹是一个以定比为内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆.若,则圆的半径为，圆心为. 2.结论：已知圆上任意一点和坐标轴上任意两点，求形如的最值问题，可逆用阿氏圆转化为三点共线最值计算. 例3．已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 解析：由题设，知：且，即圆的半径为4， ∴圆：， 如上图，坐标系中则，∴，即△△，故，（亦可逆用阿氏圆，其实就是阿氏圆的几何推导）. ∴，在△中，∴要使最大，共线且最大值为的长度.∴.故选：A 例4．在平面直角坐标系中，点在圆上运动，则的最小值为（） A． B． C． D． 解析：为圆上任意一点，圆的圆心，半径，如下图所示， ，，， ，即，，又（当且仅当为线段与圆的交点时取等号），，即的最小值为 本题正确选项： 例5.已知两定点是圆上的动点,则的最小值为_________ 解析：如图5，在轴上取点,则由,可得 .于是,有(当且仅当点为与圆的交点时取等号),所以. 三．阿波罗尼斯球 例6．已知平面上两定点、，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆心在上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体表面上动点满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 解析：在平面中，图①中以B为原点以AB为x轴建系如图，设阿氏圆圆心,半径为，，设圆O与AB交于M,由阿氏圆性质知，， ，P在空间内轨迹为以O为球心半径为2的球，若P在四边形内部时如图②,截面圆与分别交于M，R，所以P在四边形内的轨迹为， 在中，， 所以，当P在面内部的轨迹长为，同理，当P在面内部的轨迹长为， 当P在面时,如图③所示， 面，平面截球所得小圆是以B为圆心，以BP为半径的圆，截面圆与分别交于，且，所以P在正方形内的轨迹为，所以，综上：P的轨迹长度为. 故选：C 例7．在三棱锥中，，直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则点在所在平面内的射影的轨迹长为__________；三棱锥体积的取值范围是__________. 解析：过作平面垂足为，则， 因为，所以， 如图所示，以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立的平面直角坐标系， 如图所示，则，设，因为，可得，整理得，即， 所以点轨迹是半径为3的圆（阿波罗尼斯圆），即轨迹长为， 由，可得，所以体积.故答案为：；. 三．习题演练 1．设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 解析：以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的垂直平分线为轴， ，则，，设，， 则，整理得到，故轨迹是以为圆心，半径的圆，转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，不变，依然满足，故空间中的轨迹为以为球心，半径为的球，同时在球上，故在两球的交线上，为圆.球心距为， 为直角三角形，对应圆的半径为，周长为.故选：D 2.（多选题）在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则 A.点的轨迹方程为 B.面积最大时 C.最大时， D.到直线距离最小值为 解析：由题意可设，由，可得， 即，化简可得，故选项A正确； 对于选项B，，且点P到直线AB的距离的最大值为圆的半径，即为，所有面积最大为，此时，所以 ，故选项B正确； 对于选项C，最大时，为过点A作圆的切点，求得切点不为，则，故选项C错误； 对于选项D，直线的方程为，则圆心到直线的距离为，所以点P到直线AC距离最小值为，故选项D正确； 故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $