第11课 求值、证明、探索性问题（分层练习）-2024年新高考数学一轮复习考点逐点突破经典学案（新高考专用）

第11课 求值、证明、探索性问题 （分层练习） 【一层练基础】 1. 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率e＝，P为椭圆E上任意一点，且满足·的最小值为1. (1)求椭圆E的标准方程； (2)经过右焦点F2的直线l与椭圆E交于A，B两点，若△F1AB的三边长|F1A|，|AB|，|BF1|成等差数列，求△F1AB的面积． 2. 已知抛物线C：y2＝4x，点M(a，0)(a＞0)，直线l过点M且与抛物线C相交于A，B两点． (1)若a＝2，直线l的斜率为2，求AB的长； (2)在x轴上是否存在异于点M的点N，对任意的直线l，都满足＝？若存在，指出点N的位置并证明；若不存在，请说明理由． 3. 已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝. 4. 已知点M，N，直线PM，PN的斜率乘积为－，P点的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设斜率为k的直线交x轴于T，交曲线C于A，B两点，是否存在k使得|AT|2＋|BT|2为定值，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由． 5. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实半轴长为1，且C上的任意一点M到C的两条渐近线的距离的乘积为. (1)求双曲线C的方程； (2)设直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线C相交于P，Q两点，问在x轴上是否存在定点D，使得∠PDQ的平分线与x轴或y轴垂直？若存在，求出定点D的坐标；若不存在，请说明理由． 6. 如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的下方)，且|MN|＝3. (1)求圆C的方程； (2)过点M任作一条直线与椭圆＋＝1相交于两点A，B，连接AN，BN，求证：∠ANM＝∠BNM. 7. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，左、右顶点分别为C，D，·＝－3，四边形ACBD的面积为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点M(0，3)，P，Q是椭圆上两个不重合的点(不同于点A，B)，且直线PA与QB的斜率k，k1满足＝－2，证明：P，Q，M三点共线. 8. 已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)过两点(－2，0)，，抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，准线方程为x＝－1. (1)求C1，C2的标准方程； (2)请问是否存在直线l满足下列两个条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同的两点M，N，且直线OM与ON(O为坐标原点)垂直.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【二层练综合】 1. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 2. 已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. (1)证明：直线AB过定点； (2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积． 3. 已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝的圆心C在抛物线x2＝2py(p>0)上，圆C过原点且与抛物线的准线相切. (1)求该抛物线的方程. (2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则△PAB的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由. 4. 已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线y＝x上的圆E与x轴相切，且点E，F关于点M(－1，0)对称. (1)求E和Γ的标准方程； (2)过点M的直线l与圆E交于A，B两点，与Γ交于C，D两点，求证：|CD|>|AB|. 5. 已知M(－2,0)，N(2,0)，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为－，设动点P的轨迹为曲线C1.抛物线C2：x2＝2py(p>0)与C1在第一象限的交点为A，过点A作直线l交曲线C1于点B，交抛物线C2于点E(点B，E不同于点A)． (1)求曲线C1的方程； (2)是否存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点？若存在，求出p的最大值；若不存在，请说明理由． 6. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－2，0)，B(2，0)，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为－，点M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)已知点F(1，0)，直线l：x＝4与x轴交于点D，直线AM与l交