专题5.3 三角函数的图象与性质（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题5.3 三角函数的图象与性质 【核心素养】 1.结合不等式、三角函数线考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养． 2．三角函数的图象和性质与二次函数相结合，考查函数的值域(最值)，凸显直观想象、数学运算的核心素养． 3．借助三角函数的图象、数形结合思想考查函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养． 知识点一 “五点法”做函数的图象 “五点法”作图：先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图象. 知识点二 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质 性质 图象 定义域 值域 最值 当时，；当时，． 当时，；当时，． 既无最大值，也无最小值 周期性 奇偶性 ,奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在上是增函数；在上是减函数． 在上是增函数；在上是减函数． 在上是增函数． 对称性 对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形. 对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形. 对称中心 无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形. 常考题型剖析 题型一：三角函数的定义域和值域 【典例分析】 例1-1.（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）设函数，在上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例1-2.（2017新课标2）函数（）的最大值是__________． 例1-3.（2020·山东·统考高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下： 0 0 3 0 -3 0 根据表中数据，求： （1）实数，，的值； （2）该函数在区间上的最大值和最小值. 【规律方法】 1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x和cos x的值域直接求； (2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域； (3)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域． 【变式训练】 变式1-1.（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入，sec，csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割．则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式1-2.（2023春·四川成都·高一树德中学校考期末）函数取得最小值时，的值为（    ） A． B．0 C． D． 变式1-3.（2021秋·高一校考课时练习）求函数的定义域． 题型二：三角函数的单调性及其应用 例2-1.（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 例2-2.（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 例2-3.【多选题】（2023·广东东莞·校考三模）已知，且，则下列命题中成立的是（    ） A．若，是第一象限角，则 B．若，是第二象限角，则 C．若，是第三象限角，则 D．若，是第四象限角，则 【规律方法】 1.常见考题类型：（1）求三角函数的单调区间；（2）已知函数的单调性求参数值或范围；（3）比较大小. 2.求形如或 (其中A≠0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ ()”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与 ()， ()的单调区间对应的不等式方向相同(反)． 3.当时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内. 4．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法 (1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解. 5.正切函数单