第一章 直线与方程（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第一章 直线与方程（压轴题专练） 题型一　直线的倾斜角与斜率的综合问题 【例1】已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 思维升华 解决取值范围问题的策略 斜率k的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角α来联系的，因此，可以由倾斜角的变化得出斜率的变化．如图所示，过点P的直线l与线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而直线PC与线段AB不相交，所以直线l的斜率k的取值范围是kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线的位置．　　 巩固训练 1．若点A(－2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　 ) A.∪ B. C.∪ D. 2．若直线l过点A(4,1)，B(3，a2)(a∈R)，则直线l的倾斜角的取值范围是(　 ) A. B．∪ C. D．∪ 题型二　直线的点斜式、斜截式方程的应用 【例2】已知直线l经过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 思维升华 (1)直线的斜截式方程y＝kx＋b清晰地指出了该直线的两个几何要素：斜率k和截距b. (2)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距，无论采用哪种方式，在求解过程中待定系数法是求解该类问题的常用方法．　　 巩固训练 1．已知直线l的斜率为－2，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 2．已知直线l经过点P(－2,3)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 3．过点(3,1)的直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB(O为坐标原点)面积取得最小值时的直线方程． 题型三　直线方程的综合问题 【例3】若A是直线l：y＝3x上的第一象限内的一点，B(3,2)为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，求使△AOC面积最小的点A的坐标． 思维升华 (1)涉及直线与坐标轴围成的面积问题，一般把直线的方程用截距式表示，利用直线在坐标轴上的截距表示面积． (2)解答此类问题需注意直线的截距与三角形边长的区别与联系．　　 巩固训练 1．已知直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件： (1)△AOB的周长为12；(2)△AOB的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 题型四　直线方程的综合应用 【例5】已知直线l：kx－2y－3＋k＝0. (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围； (2)设直线l与x轴的负半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，若△AOB的面积为4(O为坐标原点)，求直线l的方程． 思维升华　 利用直线的位置或特征确定变量的方法 将直线方程化为恰当的形式(点斜式、斜截式或截距式等)，根据直线的位置或特征构建关于变量的不等关系，通过解不等式(组)求变量的取值，解题中要注意直线方程的形式对变量取值的限制．　　 巩固训练 1．已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l过定点． (2)若当－3＜x＜3时，直线l上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． 题型六　直线平行、垂直的综合应用 【例6】已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形． 思维升华　 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 巩固训练 在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)， R(－2t,2)，其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状． 题型七　运用坐标法解决平面几何问题 【例7】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上异于B，C的任意一点，求证：AB2＝AD2＋BD·DC. 思维升华　 利用坐标法解平面几何问题的4步骤 (1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量； (3)将几何关系转化为坐标运算； (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．　 　 巩固训练 已知Rt△ABC，∠B为直角，AB＝a，BC＝b，建立适当的坐标系，写出顶点A，B，C的坐标，并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等． 题型八　对称问题 【例8】已知直线l：3x－y＋3＝0，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点坐标； (2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程； (3)直线l关于点(1,2)对称的直线方程． 思维升华　 对称问题主要有以下几种情况 (1)点关于