第04讲 空间角的传统法和向量法-【练透核心考点】2024年高考数学一轮复习全题型突破（新教材新高考）

第04讲 空间角的传统法和向量法 目录 题型一：异面直线所成角（传统法） 1 题型二：利用向量法求异面直线所成角 6 题型三：已知线线角求参数 11 题型四：直线与平面所成角（传统法） 18 题型五：直线与平面所成角（向量法） 23 题型六：利用向量法求直线与平面所成角最值或范围 31 题型七：直线与平面所成角探索性问题 35 题型八：二面角（传统法） 47 题型九：二面角（向量法） 52 题型十：利用向量法求二面角最值或范围 63 题型十一：二面角探索性问题 70 题型一：异面直线所成角（传统法） 典型例题 例题1．（2023春·四川成都·高一统考期末）在直三棱柱中，，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023春·四川眉山·高一统考期末）三棱台中，两底面和分别是边长为2和1的等边三角形，平面.若，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023春·四川成都·高一石室中学校考期末）如图，在三棱锥中，，，，平面，为的中点，则直线与所成角的余弦值为 .    精练核心考点 1．（2023·江苏·高一专题练习）在长方体中，已知，，则和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·甘肃白银·高一校考期末）如图，在四面体中，点在平面上的射影是，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023春·山东济宁·高一统考期末）在正四棱锥中，，点是的中点，则直线和所成角的余弦值为 ． 题型二：利用向量法求异面直线所成角 典型例题 例题1．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）在三棱锥中，平面，，，则直线与夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023秋·陕西西安·高二校考期末）如图，长方体中，，，，、分别是线段和的中点，则异面直线与所成的角是（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（2023·四川绵阳·校考模拟预测）已知直三棱柱的所有棱长均为1，则直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，平面，，，，分别为的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高三专题练习）设、分别在正方体的棱、上，且，，则直线与所成角的余弦值为 ． 题型三：已知线线角求参数 典型例题 例题1．（2022秋·重庆渝北·高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习）在正方体中，棱长为2，是底面正方形的中心，点在上，是上靠近的三等分点，当直线与垂直的时候，的长为（    ） A．1 B． C． D． 例题2．（2022秋·全国·高二专题练习）已知正方体的棱长为1，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知正方体，点为中点，直线交平面于点.    (1)证明：点为的中点； (2)若点为棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 精练核心考点 1．（2022秋·山东淄博·高二山东省淄博第一中学校考阶段练习）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，，，若直线与直线所成角为，则(    ) A．​ B．2 C．​ D．​ 2．（2022秋·江苏盐城·高三统考阶段练习）已知四棱锥底面是边长为的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点(不含端点)，若线段上存在点(不含端点)，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2022秋·河南安阳·高二校考阶段练习）如图：在三棱锥中，底面，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，. （1）求证：平面； （2）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 题型四：直线与平面所成角（传统法） 典型例题 例题1．（2023春·湖北黄冈·高一黄冈中学校联考期末）在长方体中，，，则与平面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 例题2．（2023春·广东茂名·高一统考期末）在正方体中，直线和平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023·江苏·高一专题练习）在正方体中，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（2023春·陕西宝鸡·高一宝鸡