2.4 圆的方程（第2课时）（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

2.4 圆的方程 第2课时 动点的轨迹方程 选择性必修第一册 第二章《直线和圆的方程》 1 轨迹方程的定义 轨迹的定义：平面上一动点M,按照一定规则运动,形成的曲线叫做动点M的轨迹. 轨迹方程的定义：点M的轨迹方程是指点M的坐标(x, y)满足的关系式. 若求“轨迹方程”，只需写出动点坐标x,y满足的关系式，注意x,y的取值范围； 若求“轨迹”，则要先求出“轨迹方程”，再说明方程的轨迹图形，注意“补漏”和“去掉多余”的点． 求轨迹方程的关键：动中找定——在动点运动的过程中找出动点满足的不变的性质。 求轨迹方程——①直接法 [例1](P89-9)已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为， 求点M的轨迹方程. 已知平面上两点A、B，则满足 =k(k>0且k≠1)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，又称阿氏圆。 ①建：建立平面直角坐标系； ②设：求谁的轨迹就设谁的坐标为(x,y); ③限：找限制条件，即动点满足的几何关系； ④代：将点的坐标代入几何关系式中； ⑤化：化简代数式，查漏排余 (建系不同,方程不同) 求轨迹方程——①直接法 [变式]已知两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程. （法2）设A(-3,0)，B(3,0)，M(x,y) （法1）设A(0,0)，B(6,0)，M(x,y) 求轨迹方程——②相关点法 [例2](P87)已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 求谁设谁为(x,y) 点A的运动 点M的运动 引起 找所求点与已知点的坐标关系，代入已知点的方程 (x,y) (a,b) (x0,y0) 点A的方程 点M的方程 坐标 关系 代换 求轨迹方程——③定义法 例3(P88-7).等腰三角形的顶点A的坐标是(4,2)，底边一端点B的坐标是(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形. 求轨迹方程——③定义法 定义法 [练习]已知M(－2,0)，N(2,0)，求以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程，并说明它是什么图形. 求轨迹方程——④消参法 P89-10.在平面直角坐标系中，若点P的坐标(x,y)满足，其中θ为参数，r>0，证明：点P的轨迹是圆心为(a,b)，半径为r的圆. 求轨迹方程——④消参法 练习.已知当<m<1时，方程x2+y2－2(m+3)x+2(1－4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，求圆心C的轨迹方程. (1)直接法：建立适当的坐标系后，设动点为(x，y)，根据几何条件寻求x，y之间的关系式． 求曲线方程的常见方法 (2)定义法：如果所给几何条件正好符合已学曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程． (3)代入法(相关点法)：利用所求曲线上的动点与已知曲线上动点的关系,把所求动点转换为已知动点．具体地说,就是用所求动点的坐标(x，y)来表示已知动点的坐标,并代入已知动点满足的曲线的方程,由此可求得动点坐标(x, y)满足的关系． 参数法 巩固：求轨迹方程 1.(P89-8)长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程. 点A,B的运动引起点M的运动 动点M的特征满足某曲线的定义 当A或B与O重合时,上式仍然成立. 定义法 直接法 相关点法 巩固：求轨迹方程 定义法 相关点法 巩固：求轨迹方程 解：设△ABC的重心M(x，y)，顶点C(a，b)， 将②代入①得(3x＋3)2＋(3y＋3)2＝9 3.已知△ABC的顶点A(－3,0), B(0,－3), 另一个顶点C在曲线 x2＋y2＝9上运动.求△ABC的重心M的轨迹方程． 由三角形重心坐标公式得 化简得△ABC重心M的轨迹方程 巩固：求轨迹方程 直接法 定义法 几何法 【课后练习】求轨迹方程 相关点法 解： (2)设M(x, y)，C(x0, y0), 【课后练习】求轨迹方程 【课后练习】求轨迹方程 相关点法 定义法 【课后练习】求轨迹方程 消参法 【课后练习】求轨迹方程 【课后练习】求轨迹方程 几何法 21 $