作业20 空间角-【精彩假期】2023年高一数学暑假作业（浙江专用）

作业　空间角 一、单选题 　　　　　　　　　　 1．若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为(　　) A．60°　　B．45°　　C．30°　　D．90° 2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线A1B 与AD1所成角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 3．已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 4．从空间一点P向二面角α­l­β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α­l­β的平面角的大小是(　　) A．60° B．120° C．60°或120° D．不确定 5．如图，在三棱锥D­ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 　 6．[2023·温岭中学高一]如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝135°，CD＝20 m，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝(　　) A．30 m B．20 m C．20 m D．20 m 7．PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是(　　) A．　　B．　　C．　　D． 8．[2023·嘉兴一中高一]已知正四面体ABCD，M为棱AB所在直线上的一个动点，N为棱CD上靠近点C的三等分点，记直线MN与BC所成角为θ，则sin θ的最小值为(　　) A． B． C． D． 　 二、多选题 9．已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是(　　) A．若α∥β，a与α所成的角和b与β所成的角相等，则a∥b B．若a⊥α，a⊥β，则α∥β C．若a∥b，a⊥α，b∥β，则α⊥β D．若a∥α，α∥β，则a∥β 10．[2023·湖州中学高一]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点，下列说法中正确的是(　　) A．四边形B1EDF是菱形 B．直线AC与BC1所成的角为 C．直线AC1与平面ABCD所成角的正弦值是 D．平面A1BD与平面ABCD所成角的余弦值是 三、填空题 11．已知直线l与平面α所成角为30°，若直线m⊂α，则l与m所成角的最小值为________. 12．[2022·湖州中学高一]在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sin α＝________. 13．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________. 14．[2023·台州中学高一]在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝2，P，Q分别在线段AB和AC上，AP＝1，AQ＝，直线AD⊥BC于D.现将△ABC沿着AD对折，当二面角C­AD­B为60°时，线段PQ的长度为________. 四、解答题 15．四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°. (1)求证：AA1⊥BD. (2)求直线A1B与平面AA1D1D所成角的正弦值． 16．[2023·深圳中学高一]如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝1，E为PA的中点． (1)求证：平面EDB⊥平面ABCD. (2)求二面角A­EB­D的正切值． (3)求点E到平面PBC的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $ 作业20　空间角 1．A　2.C　3.A　 4．C　【解析】 若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°. 5．B　【解析】 如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG. ∵E，F分别是CD，AB的中点， ∴FG∥AC，EG∥BD，且FG＝AC，EG＝BD. ∴∠EFG为EF与AC所成的角．又∵AC＝BD，∴FG＝EG. 又∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°， ∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°. 6．D　【解析】 在△BCD中，依题意有∠CBD＝30°，由正弦定理得＝，即BC＝＝20. 由于塔垂直于地面，于是在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，从而得AB＝BC·tan ∠ACB＝20·tan 60°＝20， 所以塔高AB＝20 m