作业15 复数的概念及四则运算-【精彩假期】2023年高一数学暑假作业（浙江专用）

作业　复数的概念及四则运算 一、单选题 　　　　　　　　　　 1．＝(　　) A．－i B．＋i C．－－i D．－＋i 2．若a，b∈R，则“复数z＝a＋bi为纯虚数(i是虚数单位)”是“b≠0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知复数z满足z(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，则z的虚部为(　　) A．－i　　B．i　　C．1　　D．－1 4．复数z1＝2－i，z2＝－i，则z1z2＝(　　) A．－i B．2－i C．1＋i D．1－i 5．已知复数z满足z·(1－i)＝i，则＝(　　) A． B．1 C． D．2 6．在复平面内，复数对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知i为虚数单位，复数z满足z＝2＋2i，则z·＝(　　) A．4 B．2 C．－4 D．－2 8．已知复数z满足＝2，则的最大值是(　　) A．7 B．3 C．4 D．2 二、多选题 9．[2023·萧山中学高一]设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则下列说法中正确的是(　　) A．z的虚部是y B．z2＝x2＋y2 C．若x＝0，则z为纯虚数 D．若z满足|z－i|＝1，则z在复平面内的对应点(x，y)的轨迹是圆 10．已知复数z1，z2满足|z1－4i|＝|z1－5i|，|z2－1＋2i|＝2(i为虚数单位)，则下列结论中正确的是(　　) A．|z1|＞|z2| B．＝1 C．的最小值为 D．|z2－z1|的最小值为4 三、填空题 11．已知复数z的实部为0，且满足(1＋i)z＝a－4i，其中i为虚数单位，则实数a的值是________． 12．[2023·台州中学高一]设i是虚数单位，复数z满足z＝(1＋2i)2＋|3＋4i|，则复数＝________． 13．已知复数z＝1＋i(i为虚数单位)是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，则p＋q＝________． 14．[2022·杭州八校高一]若复数z满足|z－＋i|＝1(i为虚数单位)，则的最小值为________． 四、解答题 15．[2023·莱芜一中高一]设a是实数，复数z1＝1＋2i，z2＝(a＋i)(1－i)(i是虚数单位). (1)若z2在复平面内对应的点在第一象限，求a的取值范围． (2)求的最小值． 16．[2023·开化中学高一]已知复数z1，z2是方程z2－z＋1＝0的解． (1)求＋的值． (2)若复平面内表示z1的点在第四象限，且z1·(a＋i)为纯虚数，其中a∈R，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 作业15　复数的概念及四则运算 1．A　 2．B　【解析】 复数z＝a＋bi为纯虚数，等价于a＝0，且b≠0， a＝0，且b≠0可推出b≠0，但由b≠0不一定得到a＝0，且b≠0， 所以 “复数z＝a＋bi为纯虚数(i是虚数单位)”是“b≠0”的充分不必要条件． 3．D　【解析】 因为复数z满足z(1＋i)＝1－i，所以z＝＝＝－i， 所以z的虚部为－1. 4．A　5.A　6.A　 7．A　【解析】 ∵z＝2＋2i， ∴z＝＝＝2i， ∴＝－2i，∴z·＝4. 8．A　【解析】 满足＝2的复数z在复平面内对应的点在以C(3，－4)为圆心，以2为半径的圆上，则|z|的最大值为圆心到原点的距离与半径之和，即＋2＝5＋2＝7. 9．AD　【解析】 由复数的概念知，A正确； z2＝(x＋yi)2＝x2＋2xyi－y2，故B不正确； 当x＝0且y≠0时，z是纯虚数，故C不正确； 因为|z－i|＝1，所以＝1，即x2＋(y－1)2＝1，表示以(0，1)为圆心，1为半径的圆，故D正确． 10．ABC　【解析】 由|z1－4i|＝|z1－5i|可知，z1表示的复数所对应的点都落在(0，4)，(0，5)两点连线的中垂线上，即图中直线m上，m与y轴的交点为(0，4.5)， 由|z2－1＋2i|＝2可知，z2对应的点都在以点A(1，－2)为圆心，半径为2的圆上，如图， 则|z1|的最小值为4.5，|z2|的最大值为＋2＝＋2， 而4.5＞＋2，故|z1|＞|z2|，故A正确； 由于|z1|＝||，故＝1，故B正确； 1对应的点在直线n上，和直线m关于x轴对称， 过点A作n的垂线，交圆于D，交n于点E， 则|z2－1|的最小值即为DE的长，为4.5－4＝，故C正确； 设|z2－1＋2i|＝2中z2对应的圆与x轴切于点B，过B作m的垂线，垂足为C， 则|z2－z1|的最小值即为BC的长，即为4.5，故D错误． 11．4　 12．2－4i　【解析】 依题意，z＝(1＋2i)2＋|3＋4i|＝－3＋4i＋